Удивительные квадратные корни

[Star Cat]

1. Сумма чисел
Хотел научить свою программу самостоятельно вычислять квадратные корни. Но оказалось, что ни какой формулы не существует. Лишь только тупой подбор чисел! Меня заинтересовала эта проблема и я обнаружил несколько интересных закономерностей, одна из которых ускорит процесс вычисления квадратных корней. Хотя, возможно о некоторых из них уже известно.
Для начала мы договоримся, число из которого нужно извлечь корень это площадь квадрата. Первое, что я сделал - составил таблицу:
x | x^2 | x^2-(x-1)^2 |
1 | 1^2=1 | 1-0=1 |
2 | 2^2=4 | 4-1=3 |
3 | 3^2=9 | 9-4=5 |
4 | 4^2=16 | 16-9=7 |
5 | 5^2=25 | 25-16=9 |
6 | 6^2=36 | 36-25=11 |
7 | 7^2=49 | 49-36=13 |
8 | 8^2=64 | 64-49=15 |
9 | 9^2=81 | 81-64=17 |
10 | 10^2=100 | 100-81=19 |

Обратите внимание на правую часть таблицы, например 25-16=9. Если к результату прибавить 1 и разделить на 2, то получим квадрат из 25 (9+1):2=5. А если отнять 1 и снова разделить на 2, то получим квадратт из 16 (9-1):2=4!!!
Теперь напишем формулу. Пусть a - площадь малого квадрата, b - площадь большого квадрата, c - разность сторон, x - сторона большого квадрата, x=(b-a-c^2):2c
Пример: a=9, b=2809, c=50, x=(2809-9+50^2):2*50, x=(2800+2500):100, x=5300:100, корень из 2809 это 53!
Снова обратимся к правой части таблицы. Числа постоянно увеличиваются на два - 1; 3; 5... Очевидно, что это арифметическая прогрессия. К тому же, если складывать эти числа, то рано или поздно получим число, из которого нужно извлечь корень. Тогда к последнему слагаемому прибавить 1 и разделить на 2, корень будет найден!
Пример №1: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 16=16! Последнее слагаемое было 7, пишем (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4. А можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! 1 - первое число, 3 - второе число, 5 - третье число, 7 - четвертое число, значит ответ 4! Но если сумма чисел окажется больше чем число из которого извлекаете корень, тогда последнее слагаемое считать не надо, вам останется лишь подобрать десятые, сотые доли.
Пример №2: Нужно извлечь корень из 30. 1+3+5+7+9+11=36 36>30. Последнее слагаемое было 11 и так как сумма чисел больше 30, то вычитаем 1, пишем (11-1):2=5. Корень из 30 больше 5, вам осталось лишь подобрать десятые, сотые доли.

2. Количество знаков
Есть некое число из которого нужно извлечь корень. В нем 7 знаков до запятой. Наша задача сократить количество попыток для нахождения корня. Для этого 7 делим на 2 без остатка 7:2=3, затем полученный результат вписываем вместо степени 3,2*103=3200. Корень из семизначного числа меньше чем 3200. Это можно проверить 3200^2=10240000. В результате 8 знаков.

3. Не много геометрии
И так, формула не найдена, поскольку нельзя производить вычисление только с одним числом. Поэтому квадрат нужно «привязать» к чему-нибудь, например к кругу.
Начертим круг с диаметром равным 10, а также впишем квадрат рис. 1 http://starcat.nm.ru/img/koren1.jpg Обратите внимание, что в квадрате два треугольника. Чтобы вычислить площадь квадрата, возводим диаметр в квадрат и делим его двумя чертами по диагонали рис. 2 http://starcat.nm.ru/img/koren1.jpg Получаем четыре треугольника, в два раза больше чем нужно, поэтому результат делим попалам. Мы получили формулу для вычисления площади квадрата d^2:2; 10^2:2=50. Вычисляем площадь круга 3,14*(10:2)^2=78,5
Давайте узнаем во сколько раз площадь круга больше площади квадрата 78,5:50=1,57. На что по вашему похоже число 1,57? Оно похоже на ПИ деленное на два. Забавно, правда?
Например, нужно извлечь корень из 16. Мы можем вычислить площадь круга 16*3,14:2=25,12. Теперь у нас два числа 16 и 25,12. Но что делать дальше я не знаю. Все что осталось вычислить это длину окружности или хотя бы диаметр, без использования корней конечно. Тогда можно считать, что формула готова!!!

[maxal]

Star Cat писал(а):

Хотел научить свою программу самостоятельно вычислять квадратные корни. Но оказалось, что ни какой формулы не существует. Лишь только тупой подбор чисел!

Квадратные корни эффективно вычисляются методом Ньютона: http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html
Причем для целочисленных корней, можно использовать его целочисленную вариацию без привлечения чисел с плавающей запятой.

[Star Cat]

Star Cat писал(а):

Квадратные корни эффективно вычисляются методом Ньютона: http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html
Причем для целочисленных корней, можно использовать его целочисленную вариацию без привлечения чисел с плавающей запятой.

Я знаком с этой формулой. В ней действует тот же принцип тупого подбора.

[photon]

Вот это не поможет?

[Star Cat]

photon писал(а):

Вот это не поможет?

Спасибо, за ссылку! Она мне очень поможет.
Я нашел еще одну закономерность. Вспомним пример: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16
Можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! 1 – первое число, 3 - второе число, 5 - третье число, 7 – четвертое число, значит ответ 4! Но если сумма чисел окажется больше чем число из которого извлекаете корень, тогда последнее слагаемое считать не надо, вам останется лишь подобрать десятые, сотые доли.

[juna]

А может Вам понравится алгоритм цепных дробей. Например, нужно вычислить $\sqrt{5}$.
$\sqrt{5}=2+\sqrt{5}-2$, $\frac{1}{\sqrt5-2}=\frac{\sqrt5 +2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5 +2)}=\frac{\sqrt5 +2}{1}=\sqrt{5}-2+4$, т.е. $\sqrt5=2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+...}}}$.

Star Cat писал(а):

Я нашел еще одну закономерность. Вспомним пример: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16
Можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! 1 – первое число, 3 - второе число, 5 - третье число, 7 – четвертое число, значит ответ 4!

Это очевидное следствие суммы арифметической прогрессии из нечетных чисел: $\sum\limits_{n=1}^{k}(2n-1)=k^2$

[Star Cat]

Я нашел графический метод вычисления квадратного корня.
Пусть Z – число из которого нужно извлечь квадратный корень
Системное уравнение:
y=(Z - Z : 1.96) : 2 : x
y=x : 0.75
После построения графика, квадратный корень из Z = x + y
Чтобы самим не мучиться с построением графика, скачайте эту программу http://starcat-rus.narod.ru/koren2.rar
Доказательство этого метода я опубликую позже, когда моё авторство официально признают. Куда мне с этим обратиться, чтобы рассмотрели мой метод?
Алексей Муртазин

[PAV]

PAV:

Не дублируйте темы! Слито с предыдущей темой.

[вздымщик Цыпа]

Star Cat в сообщении #144401 писал(а):

Доказательство этого метода я опубликую позже, когда моё авторство официально признают.

$y=\frac{96}{2\cdot 196 x}Z = \frac{12}{49}Z$, $y = \frac 4 3 x$. Отсюда $\frac {9 Z}{49 x^2} = 1$, $x=\frac 3 7 \sqrt{Z}$, $y=\frac 4 7 \sqrt{Z}$ и $x+y =\sqrt{Z}$.

Придется Вам меня в соавторы записывать. Я доказательство опубликовал раньше

[Star Cat]

вздымщик Цыпа писал(а):

$y=\frac{96}{2\cdot 196 x}Z = \frac{12}{49}Z$, $y = \frac 4 3 x$. Отсюда $\frac {9 Z}{49 x^2} = 1$, $x=\frac 3 7 \sqrt{Z}$, $y=\frac 4 7 \sqrt{Z}$ и $x+y =\sqrt{Z}$.

Придется Вам меня в соавторы записывать. Я доказательство опубликовал раньше :lol:

1) Тогда напишите, откуда вы взяли эти цифры?
2) Значит, я первый составил это системное уравнение?

[вздымщик Цыпа]

Star Cat в сообщении #144429 писал(а):

1) Тогда напишите, откуда вы взяли эти цифры?

Цифры я взял с клавиатуры (также как и буквы).

Star Cat в сообщении #144429 писал(а):

2) Значит, я первый составил это системное уравнение?

И что с того? Доказательство ведь мое

На случай, если Вы не обращаете внимания на смайлики: это шутка. Веселье обусловлено Вашей попыткой представить элементарную вещь как некий «метод», который к тому же настолько важен, что его авторство имеет какое-то значение.

Хотите, я Вам подарю еще одно «системное уравнение»?
$y=Z/x$
$y=x$
После построения графиков, в точке пересечения Вы получите $x=y=\sqrt{Z}$

[Star Cat]

вздымщик Цыпа писал(а):

Хотите, я Вам подарю еще одно «системное уравнение»?
$y=Z/x$
$y=x$
После построения графиков, в точке пересения Вы получите $x=y=\sqrt{Z}$

В теоретической математики дело не только в уравнении, но в его доказательстве.
P.S. Возможно, я действительно отношусь к этому слишком серьезно. Но то, что я открыл, очень круто.

[Батороев]

$ n = (\frac{n+1}{2})^2 - (\frac{n-1}{2})^2 $.
$ mn = (\frac{m+n}{2})^2 - (\frac{m-n}{2})^2 $

Конечно же, это - круто, но известно с незапамятных времен...

с класса шестого.

[Ms-dos4]

действительно).обратитесь с этим,пусть люди посмеются

[Бодигрим]

Star Cat в сообщении #31044 писал(а):

На что по вашему похоже число 1,57? Оно похоже на ПИ деленное на два. Забавно, правда?

Это и есть $\pi/2$. И доказать это может любой школьник.

Star Cat, ваши сообщения в этой теме забавны. То есть хорошо, что вас вообще что-то интересует, кроме водки и колбасы. Плохо то, что у вас мало системных познаний в математике, но много ненужного апломба.

Star Cat в сообщении #144401 писал(а):

Доказательство этого метода я опубликую позже, когда моё авторство официально признают. Куда мне с этим обратиться, чтобы рассмотрели мой метод?

В центральную прачечную. Цирк, натуральный цирк!