Диаграммы Эйлера

[ewert]

Правильно. В том смысле, что эти выражения действительно эквивалентны. Но -- неверны (в Вашей задаче).

[Marina]

Что в моей задаче оказалось противоречивым т.е. лишено логики?

[ewert]

Нет, там всё логично, только неверно.

Marina в сообщении #310456 писал(а):

$x\notin (A\cup B)\Rightarrow(x\notin A) \vee (x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))$

Конкретно: первая стрелочка формально верна, но неоправданно груба. А вторая -- неверна формально.

[Marina]

Цитата:

первая стрелочка формально верна, но неоправданно груба. А вторая -- неверна формально

Не вижу никакой конкретики.

(Оффтоп)

Пойду очки одену и глаза протру.

[ewert]

Marina в сообщении #310480 писал(а):

Не вижу никакой конкретики.

Конкретно правильно так:
$x\notin (A\cup B)\Rightarrow(x\notin A) \vee (x\notin B) \Leftarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))$

(Оффтоп)

Marina в сообщении #310480 писал(а):

Пойду очки одену и глаза протру.

Наоборот гораздо удобнее.

(и во что Вы собираетесь одевать очки?...)

[Marina]

Ошибка не в "галочках", а в стрелочках". С "галочками" у меня всё было верно, а вот с направлением стрелочек малость ошиблась.

(Оффтоп)

Вы меня тут конкретно запутать хотите

[Maslov]

Marina, как писал ewert,
$x\notin (A\cup B)\Rightarrow(x\notin A) \vee (x\notin B)$
конечно, правильно, но слишком грубо, и в данной задачи к решению не ведёт.

По определению операции объединения множеств $x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B)$, поэтому:
$x \notin (A \cup B) \Rightarrow \overline {x \in A \cup B} \Rightarrow \overline {(x \in A) \lor (x \in B)} \Rightarrow \overline{x \in A} \land \overline {x \in B} \Rightarrow $
$(x \notin A) \land (x \notin B) \Rightarrow (x \in \overline A) \land (x \in \overline B) \Rightarrow x \in (\overline A \cap \overline B)$

[Marina]

Maslov СПАСИБО!!!
Теперь пытаюсь доказать равенство $(A\setminus B)\cup (A\setminus C)= (A\setminus (B\cap C)$
Вот что получается: Пусть $x\in ((A\setminus B)\cup (A\setminus C))$, тогда $x\in (A\setminus B)\vee x\in(A\setminus C)\Rightarrow $
$(x\in A)\wedge (x\notin B)\vee (x\in A)\wedge (x\notin C))\Rightarrow $
$(x\in A)\wedge (x\notin B)\vee (x\notin C))\Rightarrow $
$(x\in A)\wedge \overline {(x\in B)\wedge (x\in C)}\Rightarrow $
$(x\in A)\wedge (x\in \overline {B\cap C})\Rightarrow $
$x\in (A\setminus (B\cap C))$
Поправьте, пожалуйста, если есть неточности или ошибки.

[Maslov]

Неточность одна:
в третьей строке вывода
$(x\in A)\wedge (x\notin B)\vee (x\notin C))\Rightarrow $
пропущена открывающая скобка перед $(x \notin B)$ :)

А в остальном все правильно.

[Marina]

Maslov Спасибо!!!

[ewert]

Maslov в сообщении #310681 писал(а):

А в остальном все правильно.

Не всё. Во второй строчке скобок тоже не хватает. Кроме того, это -- лишь половина доказательства.

[Marina]

Спасибо, за Ваши ценные советы. Скобочки где нужно добавила.
То, что это только половина доказательства, знаю.

Хочу представить на ваш суд доказательство ещё одного равенства: $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

шаг 1: $A\cap (B\cup C)\subset (A\cap B)\cup (A\cap C)$

Пусть $x\in A\cap (B\cup C)$, тогда
$(x\in A)\wedge (x\in (B\cup C))\Rightarrow $
$(x\in A)\wedge ((x\in B)\vee (x\in C))\Rightarrow $
$((x\in A)\wedge (x\in B))\vee ((x\in A)\wedge (x\in C))\Rightarrow $
$((x\in A\cap B)\vee (x\in A\cap C))\Rightarrow $
$x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$

шаг 2: $A\cap (B\cup C)\supset (A\cap B)\cup (A\cap C)$
Доказательство шага 2 записываем с точностью до наоборот и добавляем к шагу 1 тогда доказательство будет полным.

[ewert]

Marina, кроме $\Rightarrow$ существует ещё $\Leftarrow$ и даже $\Leftrightarrow$.

[Marina]

Цитата:

Кроме $\Rightarrow$ существует ещё $\Leftarrow$ и даже $\Leftrightarrow$.

Я в курсе. Pаз я не написала полного доказательства, Вы мне предлагаете заменить $\Rightarrow$, на $\Leftrightarrow$, тем самым освободиться от двойной записи?