Пределы интегрирования, для вычисления площадей

[reafantu]

Каким образом берутся границы интегрирования, для вычисления площадей с помощью определенных интегралов, функций заданных в полярных координатах?

Например $r=2{\sin(4{\alpha})}$
Правильны ли будут границы от $0$ до $\frac{\pi}8$ и получившийся интеграл умножить на $8$ ?

[frankusef]

Интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{8}}2{\sin(4t})}\,dt$, что ли?

[reafantu]

frankusef в сообщении #309896 писал(а):

Интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{8}}2{\sin(4t})}\,dt$, что ли?

я это и спрашиваю, так как не понятно как брать пределы интегрирования, но если площадь искать то по моим пределам получается $S=8*\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{8}}2^2{\sin^2(4t})}\,dt$

[frankusef]

Вот тут рассказано http://kvm.gubkin.ru/pub/sen/lec_9.pdf; если что не понятно, спрашивайте.

[reafantu]

frankusef в сообщении #309909 писал(а):

Вот тут рассказано http://kvm.gubkin.ru/pub/sen/lec_9.pdf; если что не понятно, спрашивайте.

Всё таки не понятно, как именно берется угол. По какому принципу там в Лемнискате берется угол $\frac{\pi}{4}$ ? и как брать угол, если фигура пересекает ось $Ox$ только в $0$ как в моем примере?

[frankusef]

Ну, например с лемнискатой, $0\le\cos(2{\alpha})\le 1$, разрешите это неравенство относительно альфа и получите пределы интегрирования, а в вашем случае нужно разбить фигуру на части, как в примере с лемнискатой, тогда площадь будет равна сумме площадей частей.

[reafantu]

frankusef в сообщении #309915 писал(а):

Ну, например с лемнискатой, $0\le\cos(2\alpha)\le 1$, разрешите это неравенство относительно альфа и получите пределы интегрирования, а в вашем случае нужно разбить фигуру на части, как в примере с лемнискатой, тогда площадь будет равна сумме площадей частей.

То есть у меня получается $-1\le\sin(2\alpha)\le 1$ -> $-\frac{\pi}{4}\le\alpha\le\frac{\pi}{4}$ ?
и получается это $\frac12$ всей площади ? или если брать границы $0\le\alpha\le\frac{\pi}{4}$ то $\frac14$ площади?

[Padawan]

reafantu
Прежде, чем считать интеграл, надо сообразить, как выглядит Ваша кривая. На каждом из участков, где $r(\alpha)>0$ изобразите кривую.

[reafantu]

Padawan в сообщении #309926 писал(а):

reafantu
Прежде, чем считать интеграл, надо сообразить, как выглядит Ваша кривая. На каждом из участков, где $r(\alpha)>0$ изобразите кривую.

Получается восьмилепестковая роза, в каждом координатном угле по два лепестка, и как дальше быть?

[Padawan]

Значит интеграл от 0 до $\pi/4$ $\times$ 8

[frankusef]

Padawan ответил правильно, еще вопросы будут?

[reafantu]

Спасибо, но все же не совсем понятным остался выбор угла, что происходит в функцией в этом угле?

[ewert]

reafantu в сообщении #309913 писал(а):

Всё таки не понятно, как именно берется угол.

Стройте (мысленно, конечно, наскидку, точность тут ни к чему) кривую "по точкам". Т.е. нарисуйте много-много лучей, и на каждом условно отметьте расстояние до центра, соответствующее этому углу. Условно. Главное -- где это расстояние в зависимости от угла возрастает, а где убывает. И получите вполне разумный эскиз кривой.

А ещё главнее -- где это расстояние в формальном соответствии с уравнением окажется отрицательным. Эти угловые участки -- запрещены.

Вот по оставшимся разрешённым участкам и интегрируйте.

[vvvv]

Может эта картинка Вам поможет