Статистика

[oleg-spbu]

Используя $\chi^2$-критерий Пирсона, при уровне значимости $\alpha=0,05$ прверить гипотезу о том, что случайная величина $X$ - сумма прибыли распределена по нормальному закону.[/b]

Критерии $\chi^2$ -Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число предприятий ($N_i>5$)

Объединим первые три группы в одну.

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{№ группы}&\text{ прибыль}&\text{число предприятий} N_i& p_i & \text{теоретические частоты} Np_i & (N_i-Np_i)^2& (N_i-Np_i)^2/(Np_i) \\ \hline 1 & 9,0-15,0 & 9 & 0,46012 & 13,8036 & 23,0746 & 1,6716\\ \hline 2 & 15,0-17,0 & 14 & 0,11954 & 3,5862 & 108,4472 & 30,2401\\ \hline 3 & 17,0-19,6 & 7 & 0,18835 & 5,6505 & 1,8212 & 0,3223\\ \hline \Sigma & & 30 & 0,76801 &19,4541 & & \chi^2=32,234\\ \hline \end{tabular}$$

Параметры распределения мы уже вычислили

$a=x_b=15,80(6)$

$\sigma \approx 12,171910$

$$p_1=p(x_1 \le X \le x_2)=p(-\infty \le X \le x_2)=\Phi(\dfrac{x_2-a}{\sigma})-\Phi({\dfrac{-\infty-a}{\sigma}}) \approx 0,5 + \Phi({\dfrac{15-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0,5 + \Phi (-0,06627)\approx 0,5 - 0,03988 = 0,46012$$

$$p_2=p(x_2 \le X \le x_3)=\Phi(\dfrac{x_3-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_2-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{17-15,80(6)}{12,171910})+0,03988 \approx \Phi(0,09804) +0,03988 \approx 0,03988+0,07966=0,11954$$

$$p_3=p(x_3 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_3-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0,18835$$

$k=m-r-1$

$k$ - число степеней свободы

$m=3$ - число интервалов

$r=2$ - число параметров закона распределения (в нормальном распределении $r = 2$)

$k=3-2-1=0$

[oleg-spbu]

Используя $\chi^2$-критерий Пирсона, при уровне значимости $\alpha=0,05$ прверить гипотезу о том, что случайная величина $X$ - сумма прибыли распределена по нормальному закону.

Критерии $\chi^2$ -Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число предприятий ($N_i>5$)

Объединим первые три группы в одну.

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{№ группы}&\text{ прибыль}&\text{число предприятий} N_i& p_i & Np_i & (N_i-Np_i)^2& (N_i-Np_i)^2/(Np_i) \\ \hline 1 & 9,0-15,36 & 9 & 0,4854 & 13,8036 & 23,0746 & 1,6716\\ \hline 2 & 15,36-17,48 & 14 & 0,0693 & 3,5862 & 108,4472 & 30,2401\\ \hline 3 & 17,48-19,6 & 7 & 0.3777 & 5,6505 & 1,8212 & 0,3223\\ \hline \Sigma & & 30 & 0,9324 &19,4541 & & \chi^2=32,234\\ \hline \end{tabular}$$

Параметры распределения мы уже вычислили

$a=x_b=15,80(6)$

$\sigma \approx 12,171910$

$$p_1=p(x_1 \le X \le x_2)=p(-\infty \le X \le x_2)=\Phi(\dfrac{x_2-a}{\sigma})-\Phi({\dfrac{-\infty-a}{\sigma}}) \approx $$

$$\approx0,5 +\Phi({\dfrac{15,36-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0,5 + \Phi (-0,03669)\approx 0,5 - 0,014636 = 0,485364$$

$$p_2=p(x_2 \le X \le x_3)=\Phi(\dfrac{x_3-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_2-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{17,48-15,80(6)}{12,171910})-\Phi({\dfrac{15,36-15,80(6)}{12,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.137475) -\Phi (-0,03669) \approx 0,014633+0,054672=0,0693$$

$$p_3=p(x_3 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_3-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0.37765$$

$k=m-r-1$

$k$ - число степеней свободы

$m=3$ - число интервалов

$r=2$ - число параметров закона распределения (в нормальном распределении $r = 2$)

$k=3-2-1=0$

По таблице критических значений не нашел соответствующего критического значения...Догадываюсь, что нужно было 4 группы сделать - но каким образом?

-- Вт апр 13, 2010 02:17:42 --

Определите коэффициенты выборочного уровня регрессии

$y$ - выпуск продукции

$x$ - прибыль

$\overline y_x = b_0 + b_1(x-\overline x)$

$\overline x=15,80(6)$

$\overline y=67,2$

Для того, чтобы посчитать ковариацию в экселе, там нужно ввести два целочисленные массива...
Для удобства я скопирую их сюда


$X$
(9;12,1;12,8;13,8;14;14;14,2;14,6;14,8;15,5;15,7;15,8;15,9;16;16,1;16,2;16,3;16,4;16,4;16,5;16,5;16,7;16,7;17,2;17,6;18;18,2;18,5;19,1;19,6)
$Y$
(62;78;41;54;62;24;45;57;67;82;92;48;59;68;82;52;62;69;85;72;71;34;72;74;96;75;101;72)

Правильная ли мысль дальше? Допустим, мы нашли ковариацию $k(X,Y)=k_0$

$y_x=\overline y + \dfrac{k_0}{D_x}(x-\overline x)$

[oleg-spbu]

Используя $\chi^2$-критерий Пирсона, при уровне значимости $\alpha=0,05$ прверить гипотезу о том, что случайная величина $X$ - сумма прибыли распределена по нормальному закону.

Критерии $\chi^2$ -Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число предприятий ($N_i>5$)

Объединим группы

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{№ группы}&\text{ прибыль}&\text{число предприятий} N_i& p_i & Np_i & (N_i-Np_i)^2& (N_i-Np_i)^2/(Np_i) \\ \hline 1 & 9,0-14,0 & 6 & 0.4410 & 13,230 & 52.2729 & 3,9511\\ \hline 2 & 14,0-15,8 & 6 & 0.0587 & 1,761 & 17.9691 & 10,2039\\ \hline 3 & 15,8-16,4 & 7 & 0.0196 & 0,588 & 41.1137 & 69,9213\\ \hline 4 & 16,4-17,6 & 6 & 0.0391 & 1,173 & 23.299 & 19,8627\\ \hline 5 & 17,6-19,6 & 5 & 0.3777 & 1,133 & 14.9537 & 13,1983\\ \hline \Sigma & & 30 & 0,9361 &35,77 & & \chi^2=117,1373\\ \hline \end{tabular}$$

Параметры распределения мы уже вычислили

$a=x_b=15,80(6)$

$\sigma \approx 12,171910$

$$p_1=p(x_1 \le X \le x_2)=p(-\infty \le X \le x_2)=\Phi(\dfrac{x_2-a}{\sigma})-\Phi({\dfrac{-\infty-a}{\sigma}}) \approx $$

$$\approx0,5 +\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0,5 + \Phi (-0.1484)\approx 0,5 - 0.0589 = 0.4410$$

$$p_2=p(x_2 \le X \le x_3)=\Phi(\dfrac{x_3-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_2-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{12,171910})-\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{12,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(-0.00054) -\Phi (-0.1484) \approx -0.0002+0.0589=0.0587$$

$$p_3=p(x_3 \le X \le x_4)=\Phi(\dfrac{x_4-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_3-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{12,171910})-\Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{12,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.0487462) -\Phi(-0.00054) \approx 0.01943+0.0002=0.0196$$

$$p_4=p(x_4 \le X \le x_5)=\Phi(\dfrac{x_5-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_4-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{17,6-15,80(6)}{12,171910})-\Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{12,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.147334) -\Phi(0.0487462) \approx 0.05856-0.01943=0.0391$$

$$p_5=p(x_5 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_5-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{12,171910}) \approx 0.37765$$

$k=m-r-1$

$k$ - число степеней свободы

$m=5$ - число интервалов

$r=2$ - число параметров закона распределения (в нормальном распределении $r = 2$)

$k=5-2-1=2$

По таблице критических значений при уровне значимости $\alpha=0,5$ и $2$ сепени свободы $\chi^2_{\text{кр}}=5,99$

$\chi^2>\chi^2_{\text{кр}}$

Выборка не согласуется с законом нормального распределения

[oleg-spbu]

Используя $\chi^2$-критерий Пирсона, при уровне значимости $\alpha=0,05$ прверить гипотезу о том, что случайная величина $X$ - сумма прибыли распределена по нормальному закону.

Критерии $\chi^2$ -Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число предприятий ($N_i>5$)

Объединим группы

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{№ группы}&\text{ прибыль}&\text{число предприятий} N_i& p_i & Np_i & (N_i-Np_i)^2& (N_i-Np_i)^2/(Np_i) \\ \hline 1 & 9,0-14,0 & 6 & 0.2028 & 6.084 & 0.0071 & 0,0012\\ \hline 2 & 14,0-15,8 & 6 & 0.2960 & 8.2944 & 17.9691 & 2,4075\\ \hline 3 & 15,8-16,4 & 7 & 0.1089 & 3.267 & 13.9353 & 4,2655\\ \hline 4 & 16,4-17,6 & 6 & 0.1878 & 5.634 & 0.1340 &0,0238\\ \hline 5 & 17,6-19,6 & 5 & 0.0404 & 1.212 & 14.3489 & 11,8390\\ \hline \Sigma & & 30 & 0.8359 &35,77 & & \chi^2=14,2715\\ \hline \end{tabular}$$

Параметры распределения мы уже вычислили

$a=x_b=15,80(6)$

$\sigma \approx 2,171910$

$$p_1=p(x_1 \le X \le x_2)=p(-\infty \le X \le x_2)=\Phi(\dfrac{x_2-a}{\sigma})-\Phi({\dfrac{-\infty-a}{\sigma}}) \approx $$

$$\approx0,5 +\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{2,171910}) \approx 0,5 + \Phi (-0.8318)\approx 0,5 - -0.2972 = 0.2028$$

$$p_2=p(x_2 \le X \le x_3)=\Phi(\dfrac{x_3-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_2-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(-0.00306) -\Phi (-0.8318) \approx -0.0012+0.2972=0.2960$$

$$p_3=p(x_3 \le X \le x_4)=\Phi(\dfrac{x_4-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_3-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.2732) -\Phi(-0.00306) \approx 0.1077+0.0012=0.1089$$

$$p_4=p(x_4 \le X \le x_5)=\Phi(\dfrac{x_5-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_4-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{17,6-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.8256) -\Phi(0.2732) \approx 0.2955-0.1077=0.1878$$

$$p_5=p(x_5 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_5-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{2,171910}) \approx 0.0404$$

$k=m-r-1$

$k$ - число степеней свободы

$m=3$ - число интервалов

$r=2$ - число параметров закона распределения (в нормальном распределении $r = 2$)

$k=5-2-1=2$

Критическое значения для уровня значиости $\alpha=0,05$ и двух степеней свободы $\chi_{\text{кр}}^2=5,99$

У нас получилось $\chi^2>\chi^2_{\text{кр}}$

Следовательно данная выборка плохо согласуется с законом нормального распределения!

[--mS--]

oleg-spbu в сообщении #309380 писал(а):

$$p_5=p(x_5 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_5-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{2,171910}) \approx 0.0404$$

Откуда тут 19,6? Сумма вероятностей попадания нормального закона в интервалы у Вас получилась меньше единицы!

[oleg-spbu]

Спасибо, что ответили)

$x_5=19,6$ - это максимальная прибыль

Хм, там нужно было взять интервал от $x_4$ до $\infty$?

-- Ср апр 14, 2010 22:15:09 --

Используя $\chi^2$-критерий Пирсона, при уровне значимости $\alpha=0,05$ прверить гипотезу о том, что случайная величина $X$ - сумма прибыли распределена по нормальному закону.

Критерии $\chi^2$ -Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число предприятий ($N_i>5$)

Объединим группы

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{№ группы}&\text{ прибыль}&\text{число предприятий} N_i& p_i & Np_i & (N_i-Np_i)^2& (N_i-Np_i)^2/(Np_i) \\ \hline 1 & 9,0-14,0 & 6 & 0.2028 & 6.084 & 0.0071 & 0,0012\\ \hline 2 & 14,0-15,8 & 6 & 0.2960 & 8.2944 & 17.9691 & 2,4075\\ \hline 3 & 15,8-16,4 & 7 & 0.1089 & 3.267 & 13.9353 & 4,2655\\ \hline 4 & 16,4-17,6 & 6 & 0.1878 & 5.634 & 0.1340 &0,0238\\ \hline 5 & 17,6-19,6 & 5 & 0.2045 & 6,135 & 1.2882 & 0.0002\\ \hline \Sigma & & 30 & 1 & & & \chi^2=6.6982\\ \hline \end{tabular}$$

Параметры распределения мы уже вычислили

$a=x_b=15,80(6)$

$\sigma \approx 2,171910$

$$p_1=p(x_1 \le X \le x_2)=p(-\infty \le X \le x_2)=\Phi(\dfrac{x_2-a}{\sigma})-\Phi({\dfrac{-\infty-a}{\sigma}}) \approx $$

$$\approx0,5 +\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{2,171910}) \approx 0,5 + \Phi (-0.8318)\approx 0,5 - -0.2972 = 0.2028$$

$$p_2=p(x_2 \le X \le x_3)=\Phi(\dfrac{x_3-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_2-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{14,0-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(-0.00306) -\Phi (-0.8318) \approx -0.0012+0.2972=0.2960$$

$$p_3=p(x_3 \le X \le x_4)=\Phi(\dfrac{x_4-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_3-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{15,8-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.2732) -\Phi(-0.00306) \approx 0.1077+0.0012=0.1089$$

$$p_4=p(x_4 \le X \le x_5)=\Phi(\dfrac{x_5-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_4-a}{\sigma}}) \approx \Phi({\dfrac{17,6-15,80(6)}{2,171910})-\Phi({\dfrac{16,4-15,80(6)}{2,171910})\approx $$

$$\approx \Phi(0.8256) -\Phi(0.2732) \approx 0.2955-0.1077=0.1878$$

$$p_5=p(x_5 \le X \le \infty)=\Phi(\dfrac{\infty-a}{\sigma})-\Phi ({\dfrac{x_5-a}{\sigma}}) \approx 0,5-\Phi({\dfrac{19,6-15,80(6)}{2,171910}) \approx 0.5-0.2955=0.2045$$

$k=m-r-1$

$k$ - число степеней свободы

$m=3$ - число интервалов

$r=2$ - число параметров закона распределения (в нормальном распределении $r = 2$)

$k=5-2-1=2$

Критическое значения для уровня значиости $\alpha=0,05$ и двух степеней свободы $\chi_{\text{кр}}^2=5,99$

У нас получилось $\chi^2>\chi^2_{\text{кр}}$

Следовательно данная выборка плохо согласуется с законом нормального распределения!

[--mS--]

Другое дело. Правда, всё равно не ясно, откуда при вычислении вероятностей снова возникло 19,6. У Вас последний интервал - от 17,6 до $+\infty$, соответственно $p_5 = \Phi(+\infty)-\Phi\left(\frac{17,6-a}{\sigma}\right)$.

oleg-spbu в сообщении #309563 писал(а):

$x_5=19,6$ - это максимальная прибыль

Какая разница, что там за крайнее число стоит? Область значений нормального распределения - вся числовая ось. Соответственно, крайние интервалы при вычислении вероятностей нужно считать бесконечными, иначе сумма теоретических вероятностей будет меньше единицы.

[oleg-spbu]

Цитата:

Какая разница, что там за крайнее число стоит? Область значений нормального распределения - вся числовая ось. Соответственно, крайние интервалы при вычислении вероятностей нужно считать бесконечными, иначе сумма теоретических вероятностей будет меньше единицы.

Согласен, я забыл исправить, но считал, что там стоит $17,6$

Спасибо, все ясно)