Уравнение.

[srider0000]

$x^2=e^x$

Что получилось у меня:
1) при $x=0$ и $x=1$ решений нет.
2) при $x<0$ $f(x)=x^2$ убывает, значит функция $g(x)=e^x-x^2$ возрастает. То есть исходное уравнение при этих $x$ имеет единственный корень (или вообще не имеет, но по графику видно, что он есть). Но угадать его не получается...
3) при $0<x<1$, $0<x^2<1$, а $1<e^x<e$. То есть опять решений нет.
4) при $x>1$ как-то нужно доказать, что $e^x>x^2$. Но только вот как?..

[Ales]

srider0000 в сообщении #309471 писал(а):

$x^2=e^x$

4) при $x>1$ как-то нужно доказать, что $e^x>x^2$. Но только вот как?..

Может использовать скорость роста, первую, вторую производную?

А как найти решение?
Приближенно? - методом Ньютона.

[ShMaxG]

Вы знаете, что $g(1)>0$. Тогда если $g'(x)>0$ при $x>1$, то и $g(x)>0$ при $x>1$. Этим можете воспользоваться.

А при $x<0$ корень необходимо есть и единственен, так как функция $g(x)$ там строго возрастает и $g(-1)<0$, $g(0)>0$.

[srider0000]

А как-то школьными методами можно доказать, что при $x>1$ $e^x>x^2$?
Ну понятно, что я могу разложить $e^x$ в ряд Тейлора до $x^3$ и тогда всё очевидно. Но как вот школьными методами это доказать?

[ShMaxG]

Прочитайте внимательней мое сообщение, я пишу как.

[Ales]

srider0000 в сообщении #309480 писал(а):

А как-то школьными методами можно доказать, что при $x>1$ $e^x>x^2$?
Ну понятно, что я могу разложить $e^x$ в ряд Тейлора до $x^3$ и тогда всё очевидно. Но как вот школьными методами это доказать?

В школе изучают скорость и ускорение.
Если знаете $e^x$, то должны знать производную.

Решение приближенно: -0,703467422498392

[srider0000]

ShMaxG в сообщении #309476 писал(а):

Вы знаете, что $g(1)>0$. Тогда если $g'(x)>0$ при $x>1$, то и $g(x)>0$ при $x>1$. Этим можете воспользоваться.

Спасибо! Но теперь встаёт вопрос о сравнении $e^x$ и $2x$...

[ShMaxG]

К этому сравнению примените этот же метод!

[srider0000]

ShMaxG в сообщении #309492 писал(а):

К этому сравнению примените этот же метод!

Ах да, точно! Что-то я уже совсем туплю...
А корень только приближённо можно посчитать? Аналитически его никак не вычислить?

[ShMaxG]

Аналитически никак. Только приближенно.

Дело в том, что решение этого уравнения выражается напрямую через W-функцию Ламберта, которая не может быть выражена в элементарных функциях.

[ewert]

srider0000 в сообщении #309471 писал(а):

$x^2=e^x$

Что получилось у меня:
1) при $x=0$ и $x=1$ решений нет.

Как-то это бессмысленно. Что значит "решений нет при $x=...$", когда решения по замыслу -- это именно иксы?...

Естественно, конкретные решения возможны только численно. И единственно разумная интерпретация задачки -- это типа "найти к-во корней".

Ну один, конечно. В отрицательной области.

Для доказательства поставьте вопрос для начала так: найти $a$, при котором кривая $y=e^x$ касается кривой $y=ax^2$. Это мгновенно решается, притом вполне школьными средствами ( в школе производные уже типа ну как бы в некотором смысле уже знают; во всяком случае, их геометрический смысл).

[Padawan]

(Оффтоп)

ewert
А давайте и здесь найдем все комплексные У меня дежавю