2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить пределы
Сообщение31.08.2006, 10:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вычислить пределы:
1) $$\lim_{n\to \infty }x_n}\sqrt n , \ \  x_0=1, \ x_{n+1}=\sin x_n $$
2) $$\lim_{n\to \infty }y_nn^{1/4}, \ \ y_0=1, \ y_{n+1}=sin(sin(tg x_n)) .$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Это шутка? Отношение ограниченной и бесконечно болшой последовательности имеет пределом число 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 10:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Прошу прощения степени не туда ставил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
1) $B=\lim\limits_{n\to {\infty}}\sqrt{n}x_n$
$B^2=nA^2=3!(1-\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}})n$
$B=\sqrt3$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 13:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я ничего не понял отсюда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$A=\lim\limits_{n\to{\infty}}x_n$,
из уравнения $\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=0$ выражаем $A^2$, раскладывая синус в ряд и беря первые два члена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 13:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Артамонов Ю.Н. писал(а):
$A=\lim\limits_{n\to{\infty}}x_n$,
из уравнения $\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=0$ выражаем $A^2$, раскладывая синус в ряд и беря первые два члена.

А равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Зачем раньше времени смотреть, чему равно $A$ :lol:
$\sqrt{n+1}sin(A)-\sqrt{n}A=\sqrt{n+1}A-\frac{\sqrt{n+1}A^3}{3!}+...-\sqrt{n}A=0$
сокращая на $A$ и выкидывая величины меньших порядков получаем
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}}{3!}A^2$
Предел $\lim\limits_{n\to{\infty}}n(1-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})=1/2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 14:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Именно из-за А=0 нельзя сокращать. Ваше решение конечно можно исправить, взяв вместо А $A_n, \ A_{n+1}$. Но это потребует дополнительных выкладок типа доказательства что этот предел равен нулю, а предел отношения последующих членов 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
А мне говорили, что в математическом анализе на нуль делить можно :lol:
Решение конечно небрежное, но ответ верен и не очень зависит от начальных условий $x_0=1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 15:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
В обоих случаях ответ от начальных условий зависит только через знвк первого члена, если первый член 0 ответ ноль, положительный, то этот, отрицательный эта величина со знаком минус.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Мне кажется, что ответ не изменится для промежутка $0<x_0<=\pi/2$
Второй пример, поэтому мало отличается от первого и требует уточнения ($x_n$ закралось).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 15:55 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Перед тем как вычислять нужно еще показать, что предел существует. Или я чего-то не заметил?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Лично у меня острый приступ déjà vu. Не один в один, но различия пренебрежимы…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 19:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Прошу прощения, помню, что на другом форуме давал эту задачу, а то, что здесь давал, забыл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group