Ось подобия тройки окружностей (пересечения касательных)

[SmirnoFF]

Доброго времени суток.

Наткнулся на интересную задачу. Кто-нибудь знает как решить?

Необходимо доказать, что точки пересечения попарных касательных к 3-м окружностям лежат на одной прямой.

от модератора AD:

Пожалуйста, в следующий раз выбирайте более информативный заголовок.
Отредактировано.

[AKM]

Всё гораздо хуже.
У каждой Вашей пары окружностей есть ещё один центр подобия: Вы можете построить и пару касательных, пересекающихся между окружностями.
И Вы уже получите 6 точек-центров-подобия, а не 3.

А таких общих прямых будет 4 (прописью: четыре).
Называются они осями подобия тройки окружностей.

-- Пн апр 12, 2010 22:18:28 --

Жаль, что я рисовать разучился...

[SmirnoFF]

Я Вас понял. Но интересует именно этот случай. Есть идеи как доказать данный факт?

[AKM]

Признаться, я его даже как-то открыл для себя...
В статье Coxeter H. S.M. The problem of Apollonius, Amer. Math. Monthly, 75, 1968, 5--15 как-то вычитал "the following nice theorem'': \color{green}\fbox{\color{black}The three mid-circles of an Apollonian triad are coaxal.}}

Триадой Аполлония Коксетер называет такую тройку непересекающихся окружностей,
для которой задача Аполлония о нахождении касающейся их окружности
имеет (все) 8 решений. Это либо так, либо эдак:

$$\begin{picture}(140,20) \put(20,20){\circle{40}} \put(10,20){\circle{14}} \put(30,25){\circle{6}} \put(90,20){\circle{12}} \put(110,10){\circle{8}} \put(130,25){\circle{6}} \end{picture}$$

Ну, а то что сентр серединной окружности есть центр подобия --- это кагбе известно. Я и подумал, а не включить ли сюда остальные центры подобия (они же центры второй серединной окружности, вполне действительные точки даже если эта вторая mid-окружность мнимая). И получилось. И до лампочки --- триада эта тройка или не триада...

Для доказательства просятся теоремы Дезарга или Менелая, но я не особо люблю геометрию и думать этими теоремами не умею. Доказал тупо-аналитически. Воспользовался тем, что линейная комбинация двух уравнений окружности даёт коллинеарную окружность (и наоборот --- коллинеарная выражается как...).

Ежели никто не докажет по-нормальному, как-нть выложу. Пока недосуг.

[neo66]

Это очень известный факт. Доказывается он удивительно:
Представим себе сферы с центрами в данных окружностях и с соответствующими радиусами. Около каждой пары сфер опишем конус. Рассмотрим плоскость, касающуюся этих сфер. Пересечение этой плоскости с исходной дает нашу прямую.

[SmirnoFF]

neo66 в сообщении #308914 писал(а):

Представим себе сферы с центрами в данных окружностях и с соответствующими радиусами. Около каждой пары сфер опишем конус. Рассмотрим плоскость, касающуюся этих сфер. Пересечение этой плоскости с исходной дает нашу прямую.

Не совсем понял как около каждой пары сфер описать конус? Можно увидеть сие на рисунке?

[neo66]

SmirnoFF в сообщении #309075 писал(а):

Не совсем понял как около каждой пары сфер описать конус? Можно увидеть сие на рисунке?

А что непонятно? Если мы имеем две сферы разного радиуса, то их можно вписать в конус. У Вас на рисунке это, фактически, нарисовано.

[SmirnoFF]

Ах да... Это я понял сейчас.

Цитата:

Пересечение этой плоскости с исходной дает нашу прямую.

А что за исходная плоскость то? Чем она образована?

[ИСН]

Исходная плоскость образована условием задачи (оно всё лежит в ней).

[SmirnoFF]

Все понял. Спасибо огромное.. Действительно очень интересная задача..

[SmirnoFF]

Я вот тут подумал, а ведь может же быть так, что плоскость, касающаяся сфер будет пересекать нашу исходную совсем не по нужной нам прямой, т.е. прямой, которая не будет проходить через 3 точки, образованные пересечением пар касательных?

[ewert]

SmirnoFF в сообщении #309707 писал(а):

Я вот тут подумал, а ведь может же быть так, что плоскость, касающаяся сфер будет пересекать нашу исходную совсем не по нужной нам прямой,

Надо просто перевернуть логику построения. Уж какая-то прямая пересечения, притом единственная, там будет, поскольку общая касательная плоскость всегда существует и единственна (если, конечно, центры окружностей не на одной прямой). Но тогда эта плоскости автоматически будет касательной и для каждого из трёх конусов. (С оговоркой: конусов будет три, только если все три радиуса -- разные.)

[AKM]

Легко видеть (как это обычно бывает в таких штуках), что ежели одна окружность превратится в прямую (соотв., два конуса --- в касательные плоскости), то тройка коллинеарных точек опять нарисуется.

[SmirnoFF]

Понятно. Т.е. вершинами конусов и будут наши три точки в которых пересекаются пары касательных и в плоскости, касательной к сферам и будут лежать наши три точки?

[Dimoniada]

А можно и не сферки строить, а в одну полуплоскость (если окр. ориентированы одинакого, а ориентация как раз задаёт выбор общих касательных - то есть под этот способ доказательства подпадают все варианты с 6 центрами подобия) построить конусы с основаниями на наших окр. и высотами как радиус соотв. окружности. И на их вершины опять положить плоскость. Так поступают в циклографии Фидлера: сопоставляют точкам пр-ва $\mathbb{R}_3$ ориентированные окружности некоторой "главной" плоскости $\pi$. Там же одна из первых теорем гласит: плоскость $\phi$ изображается в циклографии Фидлера сетью циклов (ориентированных окр.) с центральной прямой $s=\phi\cap\pi$. Это и есть ваша задача =*)