Признаться, я его даже как-то открыл для себя...
В статье Coxeter H. S.M. The problem of Apollonius, Amer. Math. Monthly, 75, 1968, 5--15 как-то вычитал
"the following nice theorem'':
![\color{green}\fbox{\color{black}The three mid-circles of an Apollonian triad are coaxal.}} \color{green}\fbox{\color{black}The three mid-circles of an Apollonian triad are coaxal.}}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/8/7a8ace9da7d7c51990bfba7fe1306bc782.png)
Триадой Аполлония Коксетер называет такую тройку непересекающихся окружностей,
для которой задача Аполлония о нахождении касающейся их окружности
имеет (все) 8 решений. Это либо так, либо эдак:
![$$\begin{picture}(140,20)
\put(20,20){\circle{40}}
\put(10,20){\circle{14}}
\put(30,25){\circle{6}}
\put(90,20){\circle{12}}
\put(110,10){\circle{8}}
\put(130,25){\circle{6}}
\end{picture}$$ $$\begin{picture}(140,20)
\put(20,20){\circle{40}}
\put(10,20){\circle{14}}
\put(30,25){\circle{6}}
\put(90,20){\circle{12}}
\put(110,10){\circle{8}}
\put(130,25){\circle{6}}
\end{picture}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/1/331ad763987eacebdf6c3d149eef86ad82.png)
Ну, а то что сентр серединной окружности есть центр подобия --- это кагбе известно. Я и подумал, а не включить ли сюда остальные центры подобия (они же центры второй серединной окружности, вполне действительные точки даже если эта вторая mid-окружность мнимая). И получилось. И до лампочки --- триада эта тройка или не триада...
Для доказательства просятся теоремы Дезарга или Менелая, но я не особо люблю геометрию и думать этими теоремами не умею. Доказал тупо-аналитически. Воспользовался тем, что линейная комбинация двух уравнений окружности даёт коллинеарную окружность (и наоборот --- коллинеарная выражается как...).
Ежели никто не докажет по-нормальному, как-нть выложу. Пока недосуг.