вопрос про функцию и её частные производные

[bigarcus]

если функция зависит от двух переменных и я знаю две её частные производные, то как можно найти саму функцию?

[ИСН]

Задумайтесь: допустим, есть $f(x,y)$, и ${\partial f\over\partial x}=1$. Что мы знаем про f? Что надо сделать? Проинтегрировать? Да, но есть нюанс...

[bigarcus]

при интегрировании произвольная константа появляется

[ИСН]

Я продолжу говорить намёками. Допустим, функция-то из предыдущего "допустим" была равна $x+{y\over 1+y^2}-\sin\,y$. Могло такое оказаться?

[bigarcus]

ну, начально искомая функция, по-моему может быть любой... хотя нет - если мы знаем частные производные, то они как минимум должны существовать.
кажется, других ограничений нет

[AKM]

ИСН в сообщении #309322 писал(а):

Допустим, функция-то из предыдущего "допустим" была равна $x+{y\over 1+y^2}-\sin\,y$. Могло такое оказаться?

Ну найдите эту частную производную по !икс! от ИСН-функции. В уме найдите, за 7 секунд. И вернитесь к разговору про константу.

Переезжаем в учебный раздел.

[bigarcus]

единица

-- Ср апр 14, 2010 11:53:29 --

я увидел, что просто проинтегрировав частные производные, и сложив их, искомую функцию получить не удаётся.

но, вообще, можно найти, или нужны (видимо) дополнительные условия?

[AKM]

ИСН в сообщении #309318 писал(а):

Задумайтесь: допустим, есть $f(x,y)$, и ${\partial f\over\partial x}=1$. Что мы знаем про f? Что надо сделать? Проинтегрировать? Да, но есть нюанс...

Теперь у нас есть $f(x,y)$, и ${\partial f\over\partial x}=1$, та самая единица. Интегрируем. Получаем $x+C$? Или $x+C_\text{\tiny нюанс}(y)$?

Сорри за интрузию.

[bigarcus]

я предполагал что проинтегрировать обе частные производные, а результаты сложить...

но всё-таки часть теряется и функцию восстановить однозначно не получается

что нужно, чтобы это было возможно?

[ewert]

bigarcus в сообщении #309333 писал(а):

нужны (видимо) дополнительные условия?

Как связаны между собой $(f'_x)'_y$ и $(f'_y)'_x$?...

[bigarcus]

не знаю

[ИСН]

bigarcus в сообщении #309338 писал(а):

но всё-таки часть теряется и функцию восстановить однозначно не получается

А в одномерном случае, типа, получалось?

[bigarcus]

не знаю, сейчас посмотрю...
а одномерный случай=случай функции одной переменной?

пусть функция $x^2$
частная по x равна 2x
интегрируя, получаю $x^2+C$
т.е. искомая функция + С

-- Ср апр 14, 2010 12:36:28 --

появлениее C подобным образом меня устраивает в том смысле, что могу восстановить функцию + С

[ИСН]

Ага. Теперь такой вопрос: Вы себе это как визуально представляете? Я - примерно так: знаю функцию здесь (тычет пальцем), а хочу узнать вот здесь (тычет пальцем в другое место), поэтому беру и интегрирую производную отсюда дотуда.
И что характерно, в двумерном случае всё так же.

[bigarcus]

Знаю частные производные, хочу узнать саму функцию.
Пытаюсь, но не получается

-- Ср апр 14, 2010 13:02:46 --