Оператор с конечномерным образом

[ShMaxG]

ewert
Спасибо!

[ShMaxG]

Продолжаем разговор.

Пусть теперь образ может быть бесконечномерным. Оператор $A$ будет компактным. Я доказываю это (а мне так и надо) прибегая к теореме Арцела-Асколи (беру ограниченное множество $S$ из $C[a,b];, для доказательства вполне ограниченности его образа $A(S)$ достаточно показать ограниченность и равностепенную непрерывность). Ограниченность более чем очевидна, а равностепенная непрерывность нет (давно я этого уже не делал...).

$\[\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \, \forall t,s \in \left[ {a,b} \right]: \,\, \left| {t - s} \right| \leqslant \delta \, \forall x \in A\left( S \right) \, \left| \, {x\left( t \right) - x\left( s \right)} \right| < \varepsilon \]$

$\[\left| {x\left( t \right) - x\left( s \right)} \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \left| {\int\limits_a^b {K\left( {t,y} \right){u_x}\left( y \right)dy} - \int\limits_a^b {K\left( {s,y} \right){u_x}\left( y \right)dy} } \right| < \varepsilon \] $

Проблема с оценкой:

$\[\begin{gathered} \left| {\int\limits_a^b {K\left( {t,y} \right){u_x}\left( y \right)dy} - \int\limits_a^b {K\left( {s,y} \right){u_x}\left( y \right)dy} } \right| = \left| {\int\limits_a^b {\left( {K\left( {t,y} \right) - K\left( {s,y} \right)} \right){u_x}\left( y \right)dy} } \right| \leqslant \mathop {\max }\limits_{y \in \left[ {a,b} \right]} \left| {{u_x}\left( y \right)} \right|\int\limits_a^b {\left| {K\left( {t,y} \right) - K\left( {s,y} \right)} \right|dy} \leqslant \hfill \\ \leqslant \mathop {\sup }\limits_{u \in S} \mathop {\max }\limits_{y \in \left[ {a,b} \right]} \left| {u\left( y \right)} \right|\int\limits_a^b {\left| {K\left( {t,y} \right) - K\left( {s,y} \right)} \right|dy} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Может как-то воспользоваться равномерной непрерывностью или еще чем?

P.S. $\[\left\| A \right\| = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} \int\limits_a^b {\left| {K\left( {x,y} \right)} \right|dy} \]$

[ewert]

ShMaxG в сообщении #308582 писал(а):

Может как-то воспользоваться равномерной непрерывностью

Ну да. Раз уж ядро непрерывно (и, значит, равномерно непрерывно) по совокупности переменных -- то тем более оно равномерно непрерывно насчёт сдвигов только по иксам. А этого и достаточно для равностепенной непрерывности образа единичного шара.

[ShMaxG]

Хм, по совокупности переменных... Значит
$\[\begin{gathered} \forall y \in \left[ {a,b} \right]\forall \varepsilon > 0\exists \delta = \delta \left( {\varepsilon ,y} \right) > 0\forall t,s \in \left[ {a,b} \right]:\left| {t - s} \right| \leqslant \delta \hfill \\ \left| {K\left( {t,y} \right) - K\left( {s,y} \right)} \right| < \varepsilon \hfill \\ \end{gathered} \]$

Меня смущает зависимость дельты от игрека... Раз непрерывность по совокупности переменных, то дельта не будет зависеть от игрека?

(выразился точнее)

[ewert]

Ага.