Бесконечный детерминант

[frankusef]

Вопрос относится к теории определителей.Правда ли что

$$\lim\limits_{k \to \infty}\,det\left( \begin{array}{cccc} 1 & \sqrt 2 & \ldots & \sqrt k & \sqrt 2 & \sqrt 3 & \ldots & \sqrt {k+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\\\ \sqrt k & \sqrt {k+1} & \ldots & \sqrt {2k-1}\end{array} \right)\,=\,0 \,\,\,\,\,\,?$$

Если правда, то как это доказать?

[RIP]

Это правда. При $i=k,k-1,\ldots,3$ вычтем из $i$-й строки удвоенную $(i-1)$-ю и прибавим $(i-2)$-ю. Для красоты ещё из второй строчки вычтем первую. Поскольку $\left|\sqrt{a+1}-2\sqrt a+\sqrt{a-1}\right|=\frac2{(\sqrt{a+1}+2\sqrt a+\sqrt{a-1})(a+\sqrt{a^2-1})}<\frac1{4(a-1)\sqrt{a+1}}$, то получаем очень грубую оценку $|\det|<k!\sqrt k(\sqrt2-1)\prod_{i=3}^k\frac1{4(i-2)\sqrt i}<\frac{k^{2.5}}{4^{k-2}\sqrt{k!}}$, т.е. определитель убывает с чудовищной скоростью. Вот интересно, с какой (очевидно, быстрее, чем $k^{-ck}$ для любой постоянной $c>0$)?

[frankusef]

RIP, красивое и главное, что краткое доказательство. Спасибо большое.

[fadetoblack]

а откуда следует "грубая оценка" для определителя? это если считать определитель по определению?

[RIP]

fadetoblack в сообщении #308356 писал(а):

а откуда следует "грубая оценка" для определителя? это если считать определитель по определению?

Да.