Размерность сопряженного пространства

[Padawan]

$E$ -- векторное пространство (над $\mathbb R$ или $\mathbb C$) бесконечной алгебраической размерности $\operatorname{dim} E=\mathfrak m$. $E^+$ -- его алгебраически сопряженное, $\operatorname{dim} E^+=\mathfrak m^+$. Чему равно $\mathfrak m^+$ ?

Я пришел к тому, что $\operatorname{card} E^+=2^{\mathfrak m}$, и с другой стороны $\operatorname{card} E^+={\mathfrak c}\cdot {\mathfrak m^+}$, где $\mathfrak c$ -- мощность континуума. Но это же не определяет однозначно $\mathfrak m^+$.

[nckg]

Padawan в сообщении #308041 писал(а):

$\operatorname{card} E^+=2^{\mathfrak m}$

Как это получено, я догадываюсь. А как получено $\operatorname{card} E^+={\mathfrak c}\cdot {\mathfrak m^+}$?

[Padawan]

Элементы $E^+$ -- конечные линейные комбинации элементов базиса. Для каждого конечного набора базисных векторов их существует $\mathfrak c$ штук, а семейство всех конечных подмножеств данного бесконечного множества имеет ту же мощность, что и само множество ($\mathfrak m^+\geqslant \mathfrak m$, так что $\mathfrak m^+$ тоже бесконечно).

[RIP]

$E^+$ --- это то же самое, что $F^{\mathfrak m}$ (где $F$ --- это поле). (Ведь чтобы задать линейный функционал, нужно задать его на базисе?) А в этой теме уже выяснили, что $\dim F^{\mathfrak m}=|F^{\mathfrak m}|$ при $\mathfrak m\ge\aleph_0$.

[Padawan]

Спасибо, RIP :)
$\mathfrak c=\operatorname{card} F$
$\mathfrak c^{\mathfrak m}=\mathfrak c\cdot\mathfrak m^+$. Если $\mathfrak c^{\mathfrak m}>\mathfrak c$, то $\mathfrak m^+>\mathfrak c$ и $\mathfrak m^+=\mathfrak c^{\mathfrak m}$. Если $\mathfrak c^{\mathfrak m}=\mathfrak c$, то $\mathfrak m^+\leqslant\mathfrak c$, но $\mathfrak c$ линейно-независимых функционалов существуют: на фиксированной последовательности базисных векторов $E$ принимают значения $1,a,a^2,a^3,\ldots$, где $a\in F$. Значит, $\mathfrak m^+\geqslant\mathfrak c$. То есть опять $\mathfrak m^+=\mathfrak c^\mathfrak m$.

Да, с Вандермондом красиво придумано :)

-- Пт апр 09, 2010 22:12:25 --

А что такое $\operatorname{cf}\varkappa$ ?

[RIP]

Что-то мне настойчиво подсказывает, что это конфинальность.