Определить длину

[Iceman]

Нужна формула для определения длины пленки смотаной в рулон. Толщина пленки известна. Радиусы тоже.
Спасибо!

[Руст]

Длина равна площадь рулона делин на толщину (считаем, что намотано плотно, без промежутков).

[Sasha2]

А по моему простая арифметическая прогрессия.

[juna]

Где-то так
$\frac{2{\pi}R_1(R_2-R_1)}{h}+\pi(\frac{R_2-R_1}{h}+1)(R_2-R_1)$
$R_1,R2$ - внутренний, внешний радиусы
$h$ - толщина

[Руст]

Площадь равна $\pi(R_2^2-R_1^2).$

[Iceman]

Артамонов Ю.Н.
Руст
Посчитал по вашим формулам, результат разный!

[Руст]

Но это из-за неумения считать плошадь.

[juna]

А сами-то как думаете? По Русту пленку можно срезать с рулона и выпрямить в параллепипед - а это не так, если рулон толстый.

[Руст]

Если рулон толстый, то не удастстся намотать так, чтобы получилось кольцо. Но формула площадь делёная на толщину от этого не зависит.

[незваный гость]

Длина «точно» считается как длина винтовой линии. Хорошим приближением, однако, является аппроксимация суммой длин равноотстоящих окружностей: $\pi \frac{R^2_2 - R^2_1}{h}$.

Длина винтовой линии считается явно: $\frac{h}{4\pi}(x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2}))|\limits_{2\pi\frac{R_1}{h}}^{2\pi\frac{R_2}{h}}$. Приблизительно же имеем: $\pi \frac{R^2_2 - R^2_1}{h} + \frac{h}{4\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}+\frac{h^3}{128\pi^2}(R_2^{-2}-R_1^{-2})+{\rm O}(h^5)$

[juna]

Да через сумму арифметической прогрессии слишком грубая модель, мне она казалась точнее...

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Да через сумму арифметической прогрессии слишком грубая модель, мне она казалась точнее...

Не хуже и не лучше любой другой. Если упростить выражение, увидите тот же результат (для малых $h$).

[juna]

Не совсем, после преобразований имеем $\frac{\pi(R_2^2-R_1^2)}{h}+\pi(R_2-R_1)$, так что единица во втором слагаемом моей формулы лишняя, ей и можно пренебречь, если $h$ мало.

[Руст]

Когда h/R не мало, вообще нельзя намотать без деформации, т.е. толщина в намотанном состоянии не будет равно толщине в размотанном. Если материал несжимаем, это не влияет на формулу подсчёта длина=площадь/толщина.

[juna]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А сами-то как думаете? По Русту пленку можно срезать с рулона и выпрямить в параллепипед - а это не так, если рулон толстый.

Когда я так говорил, я думал, что второе слагаемое в моей формуле $\frac{\pi(R_2^2-R_1^2)}{h}+\pi(R_2-R_1)$ учитывает это обстоятельство, а оказалось еще больше искажает.