Математический аукцион

[General]

Правила математического аукциона.
Даётся исследовательская задача. Участники в комментариях предлагают свои варианты решения. Каждое решение, оказавшееся лучше присланного перед этим решения другого участника, оценивается всё большим количеством баллов. Если участник присылает несколько решений подряд, оценивается самое лучшее из них.

Задача
Число 210 делится на 21 и на 10.
Найдите как можно более длинное число, которое делится на все двузначные числа, образованные его соседними цифрами. (Нули внутри числа и повторяющиеся 2-значные фрагменты в нём не допускаются).

Ответы присылайте в комментарии к этому посту или в комментарии в блог Математическая задача недели (желательно, чтобы удобнее вести торги с участниками других форумов).

[RIP]

General в сообщении #298430 писал(а):

Найдите как можно более длинное число, которое делится на все двузначные числа, образованные его соседними цифрами.

В такой формулировке бессмысленная задача, поскольку число $\underbrace{11\ldots1}_{mn}$ делится на любое $m$-значное число, которое образовано любыми его $m$ цифрами.

[General]

Да-да, забыл про условие отсутствия повторяющихся 2-значных фрагментов, спасибо, поправил

[maxal]

General в сообщении #298442 писал(а):

условие отсутствия повторяющихся 2-значных фрагментов

Как это понимать? Например, число вида 11511 разрешено или нет (игнорируя прочие ограничения)?

[Руст]

Задача не имеет особого смысла. Если $X=a_1*10^{k-1}+a_2*10^{k-2}+...+a_k$ некоторое k значное число удовлетворяющее этому условию и делящиеся на $10a_k+a_1$, то любые повторы $X+X*10^k+X*10^{2k}+...+X*10^{mk}$ так же удовлетворяет этому условию.
Возьмем число $1379$ с n кратным повторением. Легко, найти такое $n$, чтобы оно делилось на $13,37,79,91=13*7$.
Дальше можно взять любое $m$ кратное повторение $4n$ значного числа.

-- Ср мар 17, 2010 02:56:19 --

Ещё одно решение. Берем число $Y=gcd(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...,99)$ исключая $25,50,75$ (чтобы число не закончилось на 00. Найдем взаимно простой с 10 множитель $a$, чтобы $X=aY$ не содержало числа $00,25,50,75$.
Тогда $X$ и все повторы универсально хорошее число.

[General]

maxal в сообщении #298477 писал(а):

General в сообщении #298442 писал(а):

условие отсутствия повторяющихся 2-значных фрагментов

Как это понимать? Например, число вида 11511 разрешено или нет (игнорируя прочие ограничения)?

Нет, не подходит, т.к. есть две пары "11".

Я понял, тут дело в терминологии: я имел в виду "повторение" не как следование непосредственно друг за другом, а как появление уже появлявшегося ранее.

Все двузначные числа, образованные соседними цифрами числа, должны быть уникальными в его пределах - можно так сформулировать ограничение.

Руст, так в таком числе тоже будут неуникальные пары цифр.

С числом Y красиво, но вдруг так встретится пара цифр, скажем, "17", дважды.

[General]

Текущие ставки:
sek140675 (nazva.net) 272160 - 6 знаков

Николай (smekalka.pp.ru) 335636421120 - 11-значное

[Руст]

Так задача сводится к переборному. Надо брать число $Y$, указанное выше
$Y=13944075045942495432906761787062460711360$ - 41 значное число (вычислено калькулятором), и найти множитель $a$ не делящиеся на 5, такое, чтобы $X=aY$ не имело двух идущих подряд цифр в повторе и $00,25,50,75$. С помощью компьютера не так сложно найти такое a, но писать программку не хочется.

[kahey]

Перебором решать не интересно.
210420840
120340480960

-- Ср апр 07, 2010 02:26:22 --

110220440880550
110220440880330660
110440880330660990550
770110220440880550
770110220440550880660

-- Ср апр 07, 2010 03:04:43 --

7701102209908803305506604400
770110220990880330440660550

[kahey]

-- Ср апр 07, 2010 10:37:30 --

770110220990880330440660550132396264000

[kahey]

Последнее число неверно.

-- Ср апр 07, 2010 12:04:42 --

770110220990880330440660550121363242000

-- Ср апр 07, 2010 12:18:46 --

77011022099088033044066055012184724248400
есть два повторение.

[kahey]

Цифр всего 10.
Если мы возьмём любую цифру, то рядом с ней слева и справа стоит другая цифра.
Эти комбинации не должны повторяться.
Таким образом возможно всего 10 таких положений. Т.е. цифра может входить в запись числа 10 раз.
Далее, если мы рассмотрим следующую цифру, то нам надо исключить из рассмотрения рассмотренную ранее цифру, т.е. возможно, уже, 9 положений.
И т.д.
Получим всего 55 вариантов. Здесь надо учесть крайние цифры (+1), т.е. максимальная длина числа не превосходит 56 цифр.

[Профессор Снэйп]

kahey в сообщении #307171 писал(а):

210420840
120340480960


110220440880550
110220440880330660
110440880330660990550
770110220440880550
770110220440550880660


7701102209908803305506604400
770110220990880330440660550

И прочее... Вроде в условии написано, что нули внутри числа не допускаются.

[kahey]

Да, не заметил.

-- Чт апр 08, 2010 18:03:22 --

General в сообщении #298576 писал(а):

Текущие ставки:
sek140675 (nazva.net) 272160 - 6 знаков

Николай (smekalka.pp.ru) 335636421120 - 11-значное

[General]

Текущий максимум на данный момент - 56 знаков, нашёл СD_Eater_:

14881383154117761845568643965166324727462958593782287360

Но теоретический максимум выше. На sciteclibrary.ru приводится пример числа из 79 цифр (полученного жертвой 66, 57 и 75), которое не имеет внутренних нулей, подстрок 25 и 75, повторяющихся двухсимвольных подстрок и при этом делится на 9 и на 11:
5354516263646561727374767182838485868788192939499596977989121323142433441155220