Об одном решении для статистической физики

[Черный Евгений]

НАКОПЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Черный Е.Н., Николаевский кораблестроительный институт, 03/04/2010 <[e-mail]>

У физики есть законы, а у статистической физики – гипотезы. Пусть мы хотим объяснить распределение энергий между частицами газа в изолированном сосуде. Максвелл предположил, что они «распределяются между частицами по тому же закону, по которому распределяются ошибки между наблюдениями в теории метода наименьших квадратов (в астрономических исследованиях Гаусса)». Зная, что в итоге требуется получить нормальный закон распределения, Максвеллу достаточно было подобрать нужное дифференциальное уравнение. И хотя обоснование последнего «пошито белыми нитками», мы закрываем на это глаза, результат оправдывает средства.
Больцман решил исправить это досадное недоразумение, применив в доказательстве вероятностный подход. Оценив вероятность всех возможных распределений энергий между частицами газа, он пришел к заключению, что истинному распределению энергий соответствует наиболее вероятное. Все радостно вздохнули - в природе реализуются наиболее вероятные состояния, это логично. Все, кроме самого Больцмана. Как же так, рассуждал он, применяется вероятностный подход, а получается единственная реализация.
С тех пор появилось много «толкователей» этого парадокса. Например, «частиц так много, что появление менее вероятных состояний превышает все разумные интервалы наблюдений», или «да, появление менее вероятных состояний возможно, но они так кратковременны, что практически не поддаются наблюдению». Чего только не выдумаешь для самооправдания. Придумали даже гипотезу «неразличимости» частиц, как будто бы частицам следует знать, когда они «различимы», а когда нет, иначе термодинамический процесс может зайти не туда.
Между тем, если вернуться к Гауссу и добавить новые факты, которые не были известны во времена Больцмана, парадокс можно объяснить без привлечения мистики. Больцман решал задачу «с конца», почти не обосновывая свои исходные посылки. Кто показал, что в термодинамическом процессе энергии между частицами могут распределяться всеми возможными способами? Разве физически реализуема ситуация, когда все частицы остановились, а одна получила всю энергию системы? Как можно считать вероятности, закладывая невероятные реализации?
Попробуем пойти с начала. Столкнулись две частицы, как они разлетаются? Если по законам классической механики, то тогда никто не знает, каков будет термодинамический процесс. Скорее всего, будет прав Лошмидт, утверждающий возможность возврата системы в исходное состояние после мысленного обращения скоростей. «Пойдите и обратите» - парировал Больцман. А что если после каждого столкновения будет появляться ничтожная погрешность, не наблюдаемая опытом при единичном столкновении, но становящаяся существенной после миллиардов столкновений?
Тогда нужно показать ее причину. Она вполне может рождаться из квантовой природы энергии. Если предположить, что любая энергия целочисленна и кратна кванту, то, подчиняя законы соударения классической механике с одной стороны, и требованию целочисленности энергии с другой, мы неизбежно столкнемся с парадоксальной ситуацией. Она будет заключаться в том, что для выполнения законов механики потребуется делить энергию до бесконечности, но квант не может делиться. Пусть сталкиваются 3 частицы и по законам механики необходимо разделить 10 квантов энергии на 3 равные части. Остается квант в остатке, отбросить его нельзя, иначе нарушится закон сохранения энергии.
Остается присоединить его случайным образом к одной из частиц. Таков может быть механизм возникновения случайных погрешностей при соударении частиц. Ну и что же дальше? А дальше вступают в силу законы накопления случайных погрешностей. Они ведут себя идентично в самых различных ситуациях, но всегда приводят к одному и тому же результату. Результат же таков: «Если погрешностей накопилось мало (астрономические наблюдения Гаусса), то мы наблюдаем положения планет, отличающиеся от истинных, величиной накопленных погрешностей. А если погрешностей много (термодинамический процесс), то мы можем наблюдать только погрешности, которые поглотили истинное положение вещей».
Теперь математически подтвердим процесс накопления погрешностей на двух примерах.
Пример 1. Пусть все энергии частиц одинаковы. Начнем случайным образом передавать минимальную единицу энергии между частицами. Через известное время между энергиями частиц установится нормальный закон распределения, который уже никогда не может измениться. Это фундаментальное свойство развития погрешностей во времени – они только накапливаются и никогда не уменьшаются, никогда не возвращаются в исходное состояние. Это знает любой вычислитель или любой биолог, размышляющий над проблемой старения.
Для меня это очевидно из треугольника Паскаля, чем дальше он развивается во времени – тем «нормальнее» становится распределение. То, что мы называем необратимостью природных процессов, в первую очередь определяется именно этим свойством погрешностей. В этом примере следует преодолеть одну техническую трудность – нельзя допускать отрицательную энергию, что в природе реализуется автоматически. Я не стал приводить алгоритм и диаграммы, поскольку посчитал второй пример более впечатляющим.
Пример 2. Здесь я хотел через решение системы уравнений, числом подтвердить утверждение, о том, что нормальный закон должен подтверждаться даже в том случае, когда погрешности полностью поглотили истинное положение вещей или другими словами вместо решений наблюдаются только погрешности. Пусть решается система уравнений в действительных числах. Тогда легко получить чепуху вместо корней, но как обосновать факт подчинения этой чепухи нормальному закону?
Прежде всего, следует взять плохо обусловленную систему уравнений. Иначе вместо нескольких минут придется потратить несколько дней для достижения в решениях полной чепухи вместо истинных корней. Рекомендую матрицу Гильберта, с другими «плохими» системами я не экспериментировал. Затем следует правильно сформировать правые части системы. Я нашел следующий способ: истинные корни должны поочередно принимать значения «+1» и «-1», подставляя их в матрицу, получаем правые части. Это необычайно удобно для проверки полученных решений на случайность – истинная случайность всегда симметрична.
Ниже приводится пример решения системы с матрицей Гильберта порядка 3000. Напомню, что при решении с двойной точность, чепуха начинает появляться, начиная с матрицы порядка 13. Процесс исключения неизвестных по методу Гаусса чем-то напоминает процесс последовательного столкновения частиц. Если погрешностей при решении нет, то это как бы будет соответствовать решениям классической механики в непрерывном мире, и мы получим 1500 корней = «+1» и 1500 корней = «-1».
Если вычислительные погрешности присутствуют, то после исключения первого неизвестного мы получим едва заметную погрешность. Возможно, она не намного больше, чем погрешность после столкновения двух частиц – при вычислении с двойной точностью это 10 в степени -15 по отношению к 1. Но у нас 3000 неизвестных, и от шага к шагу погрешность катастрофически нарастает. При решении матрицы Гильберта, каждый шаг исключения неизвестного по Гауссу понижает точность расчетов на один порядок (в 10 раз)! В результате получаются корни, распределенные по нормальному закону, между значениями -396,5 и +396,5. Разбив весь интервал на 50 диапазонов, протяженностью 15,86 единиц каждый, и подсчитав число корней по каждому диапазону, получаем диаграмму распределения.

Порядковый_Границы_________Количество
номер______значений_________корней (частоты)
диапазона__корней___________внутри диапазона
1__________-396,50__________0
2__________-380,64__________0
3__________-364,78__________0
4__________-348,92__________1
5__________-333,06__________0
6__________-317,20__________0
7__________-301,34__________2
8__________-285,48__________2
9__________-269,62__________2
10_________-253,76__________6
11_________-237,90__________9
12_________-222,04__________9
13_________-206,18__________11
14_________-190,32__________9
15_________-174,46__________26
16_________-158,60__________19
17_________-142,74__________31
18_________-126,88__________50
19_________-111,02__________51
20_________-95,16___________92
21_________-79,30___________132
22_________-63,44___________181
23_________-47,58___________267
24_________-31,72___________292
25_________-15,86___________302
26_________+15,86___________324
27_________+31,72___________300
28_________+47,58___________248
29_________+63,44___________164
30_________+79,30___________111
31_________+95,16___________98
32_________+111,02__________76
33_________+126,88__________50
34_________+142,74__________35
35_________+158,60__________23
36_________+174,46__________20
37_________+190,32__________8
38_________+206,18__________11
39_________+222,04__________12
40_________+237,90__________5
41_________+253,76__________5
42_________+269,62__________5
43_________+285,48__________4
44_________+301,34__________0
45_________+317,20__________2
46_________+333,06__________1
47_________+348,92__________0
48_________+364,78__________0
49_________+380,64__________1
50_________+396,50__________0

Еще раз подчеркну, причем здесь решение систем уравнений. Если мир непрерывен, то в нем нет места ни погрешностям, ни случайному. Такой мир может описываться и решаться только через дифференциальные уравнения, причем численные решения не проходят по причине их конечной точности. Если мир дискретен, то наши численные решения с конечной точностью прекрасно его моделируют, поскольку у природы есть конечная точность в виде кванта (энергии, пространства, времени), а у нас в виде последней значащей цифры действительного числа.
Есть ли в нашем расчете адекватность между величиной кванта энергии и длиной действительного числа? Нет, но здесь она и не нужна, поскольку наша задача - качественно понять механизм накопления случайных погрешностей и его роль в объяснении необратимости термодинамического процесса. Наша задача состоит только в том, чтобы птолемееву систему статистической физики заменить коперниковой.
Я не знаю, какой результат более важен, тот, который объясняет истинную причину нормального распределения энергий между частицами термодинамического процесса и его необратимость, опираясь на гипотезу дискретности любой энергию. Или тот, который, опираясь на опытное подтверждение нормального распределения энергий между частицами, утверждает, что тогда любая энергия должна быть дискретной.

[Ales]

1. Нормальное распределение - распределение суммы многих независимых случайных величин.
Есть ли еще какой-нибудь способ получить нормальное распределение?

2. Модель, в которой газ состоит из абсолютно упругих шариков, может иметь только ограниченное применение.
Может эта модель (вообще вся статфизика) вообще бесполезна?

[Черный Евгений]

1. Я считаю нормальное распределение - это единственное для случайной величины распределение. Все остальные распределения - смесь случайного с закономерным. Что такое сумма многих независимых случайных величин? Ее что можно строго показать? Нормальный закон - это то, что рождается из треугольника Паскаля. Вот это строго.

2. СтатФизика не бесполезна, но и она может заблуждаться. Сегодня даже на простейших упругих шариках она не может показать необратимость, потому что не понимает, что с этими шариками делать. Между тем необратимость можно получить и на шариках.

3.Если Вы все же считаете ее бесполезной, то покажите чем ее заменить, как Вы объясняете то, что энергии между частицами газа распределяются по нормальному закону, и что однажды установившись это распределение никогда не возвращается в исходное состояние (необратимость термодинамического процесса).

[Ales]

Черный Евгений в сообщении #306903 писал(а):

Я считаю нормальное распределение - это единственное для случайной величины распределение. Все остальные распределения - смесь случайного с закономерным. Что такое сумма многих независимых случайных величин? Ее что можно строго показать? Нормальный закон - это то, что рождается из треугольника Паскаля. Вот это строго.

Похоже, Вы не знакомы с теорией вероятностей.
Рекомендую прочитать какой-нибудь учебник, хотя бы начальные главы: что такое вероятность, случайная величина и распределение. Центральную предельную теорему.

-- Вт апр 06, 2010 17:08:45 --

Черный Евгений в сообщении #306903 писал(а):

2. СтатФизика не бесполезна, но и она может заблуждаться. Сегодня даже на простейших упругих шариках она не может показать необратимость, потому что не понимает, что с этими шариками делать. Между тем необратимость можно получить и на шариках.

3.Если Вы все же считаете ее бесполезной, то покажите чем ее заменить, как Вы объясняете то, что энергии между частицами газа распределяются по нормальному закону, и что однажды установившись это распределение никогда не возвращается в исходное состояние (необратимость термодинамического процесса).

Мне трудно судить полезна статфизика или не полезна.
Но я уверен, что молекулы - не упругие шарики, что молекулы взаимодействуют и устроены гораздо сложнее.
Изучайте и описывайте макросвойства газа и не надо выводить их из механической теории движения шариков-молекул.
Электромагнитные волны раньше моделировали как механические колебания эфира (тоже Максвел этим занимался), а потом эту модель выбросили и забыли.

-- Вт апр 06, 2010 17:47:11 --

Если в лом читать учебник, я попробую объяснить:
Представляете себе игральную кость (кубик) - шесть граней, на каждой грани - числа от 1 до 6.
Кость много раз бросают и смотрят какое число выпало.
Если кость качественная, то частота выпадания конкретного числа примерно одинакова, не зависит от грани и равна одной шестой от общего количества бросаний.
Эту частоту называют вероятностью случайного события - выпадения данного числа.
Выпавшее число на кости называют случайной величиной.
Распределение случайной величины - вероятность появления каждого числа:
$p(0)=0; p(1)=\frac 1 6; p(2)=\frac 1 6;...; p(6)=\frac 1 6;p(7)=0;...$

Если Вы бросите сразу 20 костей и посчитаете сумму выпавших чисел то это тоже будет случайная величина.

Центральная предельная теорема утверждает, что сумма нескольких выпавших костей будет распределена примерно нормально. Чем больше таких костей, тем ближе распределение к нормальному.
Причем, если вы будете бросать кости и монеты (Орел - 1, Решка - 0) и суммировать то все равно будет нормальное распределение (неважно распределение каждой из складываемых случайных величин, важно что их много и что они суммируются).
Вот откуда берется нормальное распределение. Например, треугольник Паскаля показывает распределение суммы нескольких выброшенных монет.

-- Вт апр 06, 2010 17:54:51 --

Случайное блуждание на плоскости - тоже пример суммирования, сделали сто шагов (каждый раз случайно, независимо от прошлого пути) - получили случайную конечную точку, распределенную на плоскости нормально.
Никакого другого смысла в нормальном распределении нет.

[Ales]

Если наблюдается статистика с нормальным распределением, то наблюдаемая величина всегда сумма многих независимых случайных величин.
Если недовес в ящиках с яблоками распределен нормально - воруют все.
Если ворует мало кто - у недовеса другое распределение.

[EvgenyGR]

Черный Евгений в сообщении #306801 писал(а):

Если мир дискретен, то наши численные решения с конечной точностью прекрасно его моделируют, поскольку у природы есть конечная точность в виде кванта (энергии, пространства, времени),

Давайте попробуем построить ваш дискретный мир. Начнем с того что сделаем дискретным время, пусть оно меняется с единичным шагом. Далее нам надо исключить как-то скорость, на тот случай, чтобы из деления приращения координаты на приращение времени у нас не появились дроби. Это можно сделать так Возьмем функционал действия, рассмотрим три момента времени, зафиксируем произвольные значения координат в первый и в последний момент времени $(q1,q3)$, тогда значение $q2$ во второй промежуточный момент времени однозначно определяется. Выразим теперь значение координат в последний, третий момент времени через значение в первый и второй момент времени, и для любых $q1, q2$ получим:

$ q3 = F(q1,q2)$

Если значения координат непрерывны, мы можем получить значение координат в любой другой целочисленный момент времени, например для $q4$

$ q4 = F(q2,q3)$


Теперь сделаем дискретным и значения координат. Для этого в используемом выше приеме будем брать $q1, q3$ сразу целыми (целое оно целое, но за единицу измерения можно брать сколь угодно малое, например, микрон или еще меньше но так, что бы уже исключить ошибку округления при численном методе). А минимизировать функционал действия будем только для целочисленных значений $q2$. Казалось бы мы получили желаемое, на основании целочисленных значений координат в первые два момента времени мы получили целочисленное значение в третий, последующий момент. Причем это идеально возможное (для наших условий) приближение. Но будет ли нам от этого счастье?

[eLectric]

Черный Евгений писал(а):

Остается присоединить его случайным образом к одной из частиц. Таков может быть механизм возникновения случайных погрешностей при соударении частиц.

Так механизм так и остался непонятным.
Я так понял объяснение, что раз уж надо куда-то девать неделимый квант, то он отдается случайно.
Функция распределения непрерывна, а сама величина дискретна. А откуда случайность? Почему конкретная величина случайна, а не вызвана какой-то причиной?

[Черный Евгений]

1) Я бы хотел обсуждать термодинамическую задачу , а не ящики с яблоками или игральные кости. Если нас устраивает решение Больцмана, слава богу. Есть люди, которых оно не устраивает, среди них был и сам Больцман. Я предлагаю решение, опирающееся на принципиально новый подход - через механизм накопление погрешностей.
2) Дискретный мир сложен, "давайте его за 5 минут построим и посмотрим что из этого выйдет" не получится. Его начали строить 2000 лет назад Демокрит и Эпикур, но и сегодня он в зачаточном состоянии. Я не говорю, что я построил дискретный мир, но я утверждаю, что в нем возможна только целочисленная арифметика. Она рано или поздно приводит к остатку, он и есть причина случайного.
3) Я не утверждаю, что мне понятен механизм присоединения этого остатка к разлетающимся частицам. Я предполагаю, что природа его как то осуществляет, причем случайным образом. У нас есть прекрасная аналогия - округление последней цифры действительного числа. Это предположение я и развиваю.
4) Кто нибудь из форума слышал о том, что погрешности могут "съесть" корни, а то что останется, будет подчиняться нормальному закону? Гаусс открыл закон нормального распределения погрешностей, применив им же открытый метод наименьших квадратов. У нас нормальное распределение получается сразу, это хороший знак, значит мы повторяем механизм накопления погрешностей, ранее примененный природой.
5) Я согласен с тем, что иду "вразрез". Все, кому удалось решить новые задачи, шли вразрез, но не все, идущие вразрез, достигают цели. Об этом я тоже знаю.

[Ales]

Черный Евгений в сообщении #307255 писал(а):

Я бы хотел обсуждать термодинамическую задачу

Что можно обсуждать, если Вы основ не знаете и учиться не хотите?

[Scholium]

Черный Евгений писал(а):

Если нас устраивает решение Больцмана, слава богу. Есть люди, которых оно не устраивает, среди них был и сам Больцман. Я предлагаю решение, опирающееся на принципиально новый подход - через механизм накопление погрешностей.

Идея интересная, но ее строгое доказательство, может быть, явно сложнее, чем у Больцмана :) .

Кроме статистической физики есть еще стохастическая физика, чаще называемой стохастической механикой или динамикой. Т.е. физика, изучающая хаос. Ну, там движение броуновской частицы, кстати, сильно связанной с нормальным распределением, и другие хаотические вещи. У них даже уравнение Шредингера (УрШ) из квантовой механики это всего лишь линейный член некоторого более общего нелинейного уравнения хаотической динамики, выводимого совершенно строго. Хотя само УрШ – постулируется, а не выводиться.

Черный Евгений писал(а):

2) Дискретный мир сложен, "давайте его за 5 минут построим и посмотрим что из этого выйдет" не получится. Его начали строить 2000 лет назад Демокрит и Эпикур, но и сегодня он в зачаточном состоянии. Я не говорю, что я построил дискретный мир, но я утверждаю, что в нем возможна только целочисленная арифметика. Она рано или поздно приводит к остатку, он и есть причина случайного.

Есть случайные процессы, корректно определенные для непрерывного времени, то же броуновское движение. Кстати, если время квантуется (дискретно), то наше пространство (Вселенная) – конечно. Таким образом, говоря о дискретном мире, Вы ограничиваете наше жизненное пространство :) .

Черный Евгений писал(а):

3) Я не утверждаю, что мне понятен механизм присоединения этого остатка к разлетающимся частицам. Я предполагаю, что природа его как то осуществляет, причем случайным образом. У нас есть прекрасная аналогия - округление последней цифры действительного числа. Это предположение я и развиваю.

Естественно, микромир имеет квантовую природу, а последний вероятностную (ну там «кипение вакуума и прочая экзотика» :) ). Т.е. тенденцию Вы выявили вполне правдоподобную, но вполне могущую иметь под собой более глубокие эффекты.

Черный Евгений писал(а):

4) Кто нибудь из форума слышал о том, что погрешности могут "съесть" корни, а то что останется, будет подчиняться нормальному закону? Гаусс открыл закон нормального распределения погрешностей, применив им же открытый метод наименьших квадратов. У нас нормальное распределение получается сразу, это хороший знак, значит мы повторяем механизм накопления погрешностей, ранее примененный природой.

По-моему, для тех же плохо обусловленных матриц можно найти подобный пример. Скажем, изменив один коэффициент такой матрицы (порядка несколько десятков элементов) на величину меньшую $10^{-10}$, мы получим изменение детерминанта обратной к этой матрицы в более чем $10^{+10}$ раз! Ну, и где тогда находится ее реальное значение?

Черный Евгений писал(а):

5) Я согласен с тем, что иду "вразрез". Все, кому удалось решить новые задачи, шли вразрез, но не все, идущие вразрез, достигают цели. Об этом я тоже знаю.

Это вполне приветствуется! Критики бояться, на форум не ходить! :)

[EvgenyGR]

Черный Евгений в сообщении #307255 писал(а):

2) Дискретный мир сложен, "давайте его за 5 минут построим и посмотрим что из этого выйдет" не получится. Его начали строить 2000 лет назад Демокрит и Эпикур, но и сегодня он в зачаточном состоянии. Я не говорю, что я построил дискретный мир, но я утверждаю, что в нем возможна только целочисленная арифметика. Она рано или поздно приводит к остатку, он и есть причина случайного.

Но строить-то как-то надо. :).

И так значения координат в два близких момента времени в непрерывной механике определят всю траекторию (на всякий случай, говоря координата, я конечно же имею в виду вектор в конфигурационном пространстве).

Пусть значения координат дискретны и ограничены, тогда число значений, которое могут принимать координаты конечно и равно N. Пусть мы рассматриваем не три момента времени а M различных моментов времени, тогда количество различных путей по которым можно попасть из начального значения координат в конечное будет равно N**(M-2), а какое количество различных путей мы можем задать используя только два момента времени? Ответ очевиден N**2. Вспомним теперь что путь (траектория) ближе всего к истинной в том случае, если она наилучшим образом минимизирует соответствующий функционал действия. Однако всех возможных траекторий у нас оказалось гораздо больше, чем число траекторий, которые мы можем получить из двух моментов времени. А значит велика вероятность что при очень большом значении N мы очень быстро будем удалятся от истинной траектории. И исправить эту ситуацию принципиально нельзя.

[Черный Евгений]

Евгений, движение в дискретном пространстве это отдельный и серьезный разговор. Мои достижения здесь таковы:
1) Надо представлять в чем именно ты движешься. Простейшее изотропное дискретное пространство - это мелкий песок в прозрачной банке, а песчинки это кванты пространства. По любому направлению нет идеальных прямых линий, но зато и расстояние в квантах-песчинках по любому направлению одинаково. Если песчинки уменьшать, то это пространство неограниченно близко приближается к евклидовому, но при этом у него есть преимущества, которые делают его серьезным, а евклидово игрушечным. Это (а) наличие внутренней меры в виде кванта пространства и (б) такому пространству не нужен образец прямой линии, прямая это всегда минимальное число квантов между заданными.
2) Нужно представлять себе, что именно движется по квантовому пространству. По нему движутся кванты энергии (материи), но мы не знаем ни того, как отдельные кванты энергии образуют электромагнитную волну, ни того, как они образуют инертную массу. Знаем только, что квантов очень много, и что осредняющий эффект движения может давать для центра масс именно идеальную прямую линию.
3) В условиях такой неопределенности я бы не стал объяснять другим как именно происходит движение макро или микро тел в дискретном пространстве. Но думать и искать надо.