Разложение полной энергии частицы в ряд Тейлора - физ. смысл

[truth]

Доброго времени суток!
У нас есть полная энергия свободной частицы: $E=(m_0^2c^4+p^2c^2)^\frac{1}{2}$, её раскладывают в ряд Тейлора: $E=m_0c^2+\frac{p^2}{2m_0}+...$
Подскажите пожалуйста, как это получается математически.
Почему её разложили в ряд Тейлора, а не Маклорена - чем одно отличается от другого с физической точки зрения.
Спасибо.

[ShMaxG]

Просто $c$ очень большое, а $1/c$ очень маленькое, этим и пользуются: $\[{\left( {1 + x} \right)^\alpha } = 1 + \alpha x + ...\] $ при малых $x$.

Разложение по Маклорену - это разложение по Тейлору относительно нуля. Какой тут может быть физический смысл?

[truth]

ShMaxG в сообщении #307474 писал(а):

Просто $c$ очень большое, а $1/c$ очень маленькое, этим и пользуются: $\[{\left( {1 + x} \right)^\alpha } = 1 + \alpha x + ...\] $ при малых $x$.

Разложение по Маклорену - это разложение по Тейлору относительно нуля. Какой тут может быть физический смысл?

Гм, у меня есть формула с производными и факториалами, не пойму, нужна ли она, что в выражении для энергии является аргументом?

[12d3]

$E=\left(m^2c^4+p^2c^2\right)^\frac{1}{2} = mc^2\left(1+\frac{p^2}{m^2c^2}\right)^\frac{1}{2} \approx mc^2\left(1+\frac{p^2}{2m^2c^2}\right) = mc^2 + \frac{p^2}{2m} $
Аргументом в ряде Тейлора является $\frac{p^2}{m^2c^2}$, и в приближении малых скоростей $ p \ll mc \Rightarrow \frac{p^2}{m^2c^2} \ll 1$

[AD]

truth в сообщении #307483 писал(а):

Гм, у меня есть формула с производными и факториалами

В формуле, которую привёл ShMaxG, вот эта альфа в правой части - это первая производная в нуле; факториал единицы там тоже есть, только он равен 1, и поэтому его не видно. Остальные слагаемые упрятаны в "$\ldots$", потому что они уж совсем маленькие.

[Профессор Снэйп]

truth в сообщении #307469 писал(а):

Почему её разложили в ряд Тейлора, а не Маклорена - чем одно отличается от другого с физической точки зрения.

Не знаю, как там физически, а с математической точки зрения всё просто. Ряд Маклорена --- частный случай ряда Тейлора. Поэтому ряд Маклорена всегда можно назвать рядом Тейлора, а ряд Тейлора рядом Маклорена можно назвать лишь в некоторых случаях.

[truth]

Понятно, всем большое спасибо.