Определить область определения тригонометрической функции?

[amonrah]

Здравствуйте уважаемые,

есть такая задачка, нужно $x^4+x*y = y^4$ перевести на новую систему координат, не знаю как она по русски тoчно называется , думаю полярная:

И так: $ x^4+x*y = y^4 $
$ x= F(\Phi)*cos(\Phi) $ $y = F(\Phi)*sin(\Phi) $
$ [F(\Phi)*cos(\Phi)]^4 +F(\Phi)^2*cos(\Phi)*sin(\Phi) = [F(\Phi)*sin(\Phi)]^4 $
$ [F(\Phi)]^2 = - \frac{cos(\Phi)*sin(\Phi)}{(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4)} $
$ [F(\Phi)] = \sqrt{- \frac{cos(\Phi)*sin(\Phi)}{(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4)}} $

И так для начала я определил для каких значений $\Phi$ знаменатель превращается в 0

$(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4) = 0$
$(cos(\Phi)^4 = sin(\Phi)^4) $
$ tan(\Phi) = 1$

$\Phi \not = 45°$

Затем начал решать неравенство, дабы найти область определения:

$ - \frac{cos(\Phi)*sin(\Phi)}{(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4)} \ge 0 $

$ - \frac{cos(\Phi)*sin(\Phi)*(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4)}{(cos(\Phi)^4-sin(\Phi)^4)^2} \ge 0 $

Так как знаменатель при любом $\Phi \not = 45°$ больше нуля то:

$-cos(\Phi)^5*sin(\Phi)+sin^5(\Phi)*cos(\Phi) \ge 0 $

$sin(\Phi)^4-cos(\Phi)^4 \ge 0 $


$-cos(2*\Phi) \ge 0 $

получил седующие ответы: $ \Phi элемент (\frac{\Pi}{4}; \frac{3*\Pi}{4}) и (\frac{5*\Pi}{4}; \frac{7*\Pi}{4}) $

В общем в ответе в книжке интервалы совсем другие где ошибка?

[ewert]

Разложите знаменатель на множители -- и увидьте под корнем тангенс двойного угла.

[amonrah]

ewert большое спасибо

и так получил $ [F(\Phi)] = \sqrt{-\frac{1}{2}*tan(2*\Phi)} $

по условию $ -\frac{1}{2}*tan(2*\Phi) \ge 0$ $ \| tan(\Phi) \ne 45°$

отсюда нашол следующие углы: $\Phi (\frac{\Pi}{4}; \frac{\Pi}{2}] and (\frac{3\Pi}{4}; \Pi] and (\frac{5\Pi}{4};\frac{3\Pi}{2}] $

Правда не совсем уверен все ли это углы...

Как быть с моим первым неравенством, оно в принципе не верно?

[ewert]

amonrah в сообщении #307300 писал(а):

Как быть с моим первым неравенством, оно в принципе не верно?

Верно. Но не нужно.

amonrah в сообщении #307300 писал(а):

Правда не совсем уверен все ли это углы...

Не все, естественно. Как может получиться нечётное количество промежутков, раз уж угол -- удваивается?...

[amonrah]

Цитата:

Верно. Но не нужно.

Тоесть с помощью моего первого неравенства можно придти к таким же ответам, или как это не нужно?

$\Phi (\frac{\Pi}{4}; \frac{\Pi}{2}] and (\frac{3\Pi}{4}; \Pi] and (\frac{5\Pi}{4};\frac{3\Pi}{2}] and (\frac{7\Pi}{4};2\Pi]$

[amonrah]

Всё верно, с помощью $-cos(2*\Phi) \ge 0 $ пришел к тем же значениям угла, спасибо!