Кривизна кривой

[e7e5]

Пусть некоторая кривая имеет монотонную кривизну пропорциональную $С \delta(x)$ ( дельта-функция).

Как можно описать искомую кривую? Представить графически.
И вообще такая кривая может существовать?

Для постороения искомой кривой беру
$y(x)=|x|$ (1), для нее кривизна при $x=0$ как раз пропорциональна дельта-функции.
Первый "кусочек" искомой кривой представим как

$y_0= \sqrt {x^2+a^2}$ (2)


Далее получается, что для любого $x$ нужно получать видоизмененные "кусочки" вида (1), (2)

Но в целом записать вид кривой языком математики для меня затруднительно

[ИСН]

Все слова после (1) - лишние.

[ГАЗ-67]

e7e5 в сообщении #307100 писал(а):

Пусть некоторая кривая имеет монотонную кривизну пропорциональную $С \delta(x)$ ( дельта-функция).

Не совсем понял ...

[AD]

post285030.html#p285030

-- Ср апр 07, 2010 08:24:20 --

e7e5 в сообщении #307100 писал(а):

Но в целом записать вид кривой языком математики для меня затруднительно

Ну это будет некий дифур в обобщенных функциях. По форме - такой же, как в обычной задаче поиска кривой по кривизне.

[nikvic]

e7e5 в сообщении #307100 писал(а):

Пусть некоторая кривая имеет монотонную кривизну пропорциональную $С \delta(x)$ ( дельта-функция).

Как можно описать искомую кривую? Представить графически.
И вообще такая кривая может существовать?

Монотонность - из области фантастики
Если бы вместо х была длина, всё было бы просто - перед нами угловая точка с известным углом поворота.
Для переменной х тоже будет поворот, но его угол уже зависит от "входного" наклона. Посмотрите разность арктангенсов производных.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #307100 писал(а):

Пусть некоторая кривая имеет монотонную кривизну пропорциональную $С \delta(x)$ ( дельта-функция).

e7e5,
это написано совсем непонятно. Монотонность при участии дельта-функции??? Недодумано.
И --- $C \delta({\color{blue}x})$ или $C \delta({\color{blue}s})$? (Ваша буковка С пропала, тому что набрана кириллицей).
Вы смотрите кривую $y=f(x)$ с кривизной $k(x)$, в записи которой участвует $\delta(x)$?
Вы смотрите кривую $[x(s), y(s)]$ (возможно, представимую в виде $y=f(x)$) с кривизной $k(s)$, в записи которой участвует $\delta(s)$?

Дальнейшие непонятки (типа "причём там окружности?") без этого трудно выяснять, и трудно даже помочь Вам правильно сформулироваться.

-- 07 апр 2010, 19:13 --

А если бы e7e5 писал(а):

Пусть некоторая кривая имеет кривизну, пропорциональную дельта-функции,

то семейство ломаных типа той красненькой (ссылку привёл чуть повыше AD) было бы единственным решением. Угол слома (высокопарно --- параметр семейства) зависит от коэффициента пропорциональности.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #307382 писал(а):

Вы смотрите кривую $[x(s), y(s)]$ (возможно, представимую в виде $y=f(x)$) с кривизной $k(s)$, в записи которой участвует $\delta(s)$?

А если бы e7e5 писал(а):

Пусть некоторая кривая имеет кривизну, пропорциональную дельта-функции,

то семейство ломаных типа той красненькой (ссылку привёл чуть повыше AD) было бы единственным решением. Угол слома (высокопарно --- параметр семейства) зависит от коэффициента пропорциональности.

Да, именно так. Ищется кривая, которая имеет кривизну, пропорциональную дельта-функции ( $C\delta(s)$ )

Как она может быть описана математически ( натуральным уравнением, графически, еще как-то)?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #307496 писал(а):

Да, именно так. Ищется кривая, которая имеет кривизну, пропорциональную дельта-функции ( $C\delta(s)$ )

Как она может быть описана математически ( натуральным уравнением, графически, еще как-то)?

Натуральное уравнение Вы только что задали: $k(s)=C\delta(s)$. Чтобы его довести до координат (Вы вроде с этим уже не раз сталкивались), надо

Алексей К. в сообщении #285030 писал(а):

Кстати, если Вы проинтегрируете уравнение $k(s)=C\delta(s)$ по $s$, получите $\tau(s)$ --- функцию угла наклона касательной к этой кривой. А проинтегрировавши $\cos\tau(s)$ и $\sin\tau(s)$ получите $x(s),y(s)$ --- параметрическое уравнение...

Вот. Интегрируйте для начала дельта-функцию: $\tau(s)=\int_0^s k(t) \,dt=C\int_0^s\delta(t)\, dt=\ldots$

(Просто я)

Алексей К. в сообщении #285030 писал(а):

... про эти обобщённые функции на самом деле знаю только то, что ребяты здесь на форуме рассказывали, сам с ними дела не имел, и правильные слова не все наизусть выучил.

А потом будут более-менее нормальные функции, и к дальнейшим интегрированиям я готов подключиться.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #307613 писал(а):

Вот. Интегрируйте для начала дельта-функцию: $\tau(s)=\int_0^s k(t) \,dt=C\int_0^s\delta(t)\, dt=\ldots$ А потом будут более-менее нормальные функции, и к дальнейшим интегрированиям я готов подключиться. [/off]

$\delta(t)=\frac {1} {\pi} \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac {\epsilon} {(t^2+\epsilon^2)}$

$\tau(s)=\int_0^s k(t) \,dt=C\int_0^s\frac {1} {\pi} \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac {\epsilon} {(t^2+\epsilon^2)}\, dt=\ldots$

$\tau(s)=C\lim\limits_{\epsilon \to 0}\int_0^s \frac {1} {\pi} \frac {\epsilon} {(t^2+\epsilon^2)}\, dt$
так можно записать? ( я не интегрировал еще дельта-функцию...)

[Алексей К.]

То, что Вы написали с пределом, мне неизвестно.
Имеется явное выражение для первообразной дельта-функции --- функция Хевисайда. С ним (берём, например, оттуда "другое распространённое определение") вполне можно жить дальше.