Сходимость по распределению

[Neytrall]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу, а на её примере я попробыю решить остальные.

Дано $X_1\dots X_n\sim U(-\theta,0)$ independents $(\theta>0)$
1. Докажите, что $-\min X_i$ это оценка максимального правдоподо́бия для параметра $\theta$ (это я сделал)
2. Докажите, что $\Rightarrow n(\theta+\min X_i) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \exp(\frac{1}{\theta})$
Помогите с путём решения и если можно то с литературой на эту тему.

[PAV]

Найдите функцию распределения случайной величины $\min X_i$, а более точно - всего выражения, стоящего в левой части.

-- Вт апр 06, 2010 13:10:17 --

И напишите определение сходимости по распределению.

[Neytrall]

$F_{Mn}=1-(1-\frac{1}{\theta})^n$ $\Rightarrow $ $n(\theta+1-(1-\frac{1}{\theta})^n)$

Так?

[PAV]

Я не понимаю, что у Вас написано. Пишите подробнее.

-- Вт апр 06, 2010 15:11:07 --

И объясняйте свои обозначения.

[Neytrall]

Дано: $X_i\sim U(-\theta,0)$. Пусть $Y=\min X_i$

$F_x(y)=\frac{y}{\theta},I_{(0<y<1)}$

$F_y(y)=P(\min X_i<y)=1-P(\min X_i>y)=1-P(x_1>y,\dots ,x_n>y)=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-P(X_i<y))=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-F_{X_i}(y))=1-(1-F_x(y))^n=1-(1-\frac{y}{\theta})^n,I(-\theta,0)$

Я всё верно написал?

[--mS--]

Neytrall в сообщении #306913 писал(а):

Дано:
$F_x(y)=\frac{y}{\theta},I_{(0<y<1)}$

$F_y(y)=P(\min X_i<y)=1-P(\min X_i>y)=1-P(x_1>y,\dots ,x_n>y)=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-P(X_i<y))=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-F_{X_i}(y))=1-(1-F_x(y))^n=1-(1-\frac{y}{\theta})^n,I(-\theta,0)$

Я всё верно написал?

Нет. Что это за функция $F_x(y)$ (она вообще не функция распределения и не имеет отношения к условию)? Почему она возникает в последнем равенстве?
И вероятность $1-(1-\frac{y}{\theta})^n$ при $-\theta < y< 0$, которая у Вас в итоге получилась, отрицательна.

А определение сходимости по распределению будет?

[Neytrall]

$\mathop {\lim }\limits_{n \to\infty} F_n(x) = F(x) $ -идея в том, что начальная функция при большом $n$
становится схожей с какой-то другой функцией. Например $\Rightarrow Bin(n,\frac{\lambda}{n}) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} Pois(\lambda)$

Я в других случаях доказал это, но в этой задаче у меня не выходит, так как я никак не могу вывести функцию распределения $\min X_i$. Я уже написал вам, то что было записано у меня в тетради (нам лектор это дал, возможно, что там ошибка. Но я не знаю где.)
Я хорошо помню функцию распределения $\max X_i$, так как неоднократно ей пользовался...но минимума не знаю(

[Henrylee]

Neytrall в сообщении #306968 писал(а):

Я в других случаях доказал это, но в этой задаче у меня не выходит, так как я никак не могу вывести функцию распределения $\min X_i$.

А Вы выловите идею из Ваших же записей, списанных у лектора.
Там в первоисточнике, видимо, было верно, но при списывании исказилось.

[Neytrall]

Я списывал в точности как у меня написано.

[--mS--]

Neytrall в сообщении #306999 писал(а):

Я списывал в точности как у меня написано.

Вы функцию распределения равномерного закона на отрезке $[-\theta,\,0]$ записать можете?

[Neytrall]

$F_X(x)=\begin{cases} 0 & \text{for } x \le -\theta \\ \frac{x+\theta}{\theta} & \text{for } x \in [-\theta,0] \\ 1 & \text{for } x \ge 0 \end{cases}$

[Alexey1]

Neytrall в сообщении #306913 писал(а):

$P(\min X_i<y)=1-P(\min X_i>y)=1-P(x_1>y,\dots ,x_n>y)=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-P(X_i<y))=1-\prod\limits_{i=1}^n (1-F_{X_i}(y))=1-(1-F_x(y))^n$

Я всё верно написал?

Вот это теперь перепишите для

Neytrall в сообщении #307135 писал(а):

$F_X(x)=\begin{cases} 0 & \text{for } x \le -\theta \\ \frac{x+\theta}{\theta} & \text{for } x \in [-\theta,0] \\ 1 & \text{for } x \ge 0 \end{cases}$

Затем находите распределение случайной величины $n(\theta+\min X_i)$.

[Neytrall]

$n(\theta+1-(1-\frac{x+\theta}{\theta})^n)$

Так?

[Alexey1]

Neytrall в сообщении #307180 писал(а):

$n(\theta+1-(1-\frac{x+\theta}{\theta})^n)$

Так?

Ну то, что Вы написали, это сумма параметра $\theta$ с функцией распределения случайной величины $\min X_i$ ($x\in[-\theta;0]$) умноженное на $n$. Какое это имеет смысл? Найдите $P(n(\theta+\min X_i) \leq x)$.

[Neytrall]

как? разве это не просто линейная трансформация?