Момент инерции произвольного треугольника

[Spice]

Возникла необходимость рассчитать момент инерции произвольного выпуклого тела, заданного точками на плоскости. Насколько я понимаю эта задача сводится к нахождению момента инерции всех треугольников, составляющих это тело.
В связи с этим возник вопрос: как это сделать для одного треугольника?
Речь едет о моменте инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника. Нет принципиальной разницы через какую точку будет эта ось проходить, так как перейти к любой другой всегда поможет теорема Гюйгенса-Штейнера . Масса распределена равномерно.
К сожалению в физике силен не на столько, чтобы самостоятельно решить эту задачу.
p.s. возможно этому топику место в разделе математика, господа модераторы?

[Андрей123]

Необязательно разбивать область на многоугольники. Составляем подынтегральное выражение. С помощью теоремы Стокса переходим от интеграла по площади к интегралу по ее границе, т.е. ломаной линии. Т.к. точки заданы, то легко получить ее параметрическое уравнение. А дальше просто считаем интеграл. И, кстати, область необязательно должна быть выпуклой.

[Spice]

Андрей123 в сообщении #306886 писал(а):

Необязательно разбивать область на многоугольники. Составляем подынтегральное выражение. С помощью теоремы Стокса переходим от интеграла по площади к интегралу по ее границе, т.е. ломаной линии. Т.к. точки заданы, то легко получить ее параметрическое уравнение. А дальше просто считаем интеграл.

Андрей123, под переходом от интеграла по площади к интегралу по границе имеется, насколько я понял, теорема Грина (частный случай теоремы Стокса). С этим вроде бы все ясно. С нахождением параметрических уравнений для каждого из отрезков, ограничивающих фигуру тоже тоже.
Проблема в составлении подынтегрального выражения, матан уже подзабылся
В общем виде момент инерции относительно какой-либо оси равен $\int r^2dm$ или $\int r^2ds$ для фигуры на плоскости с равномерно распределенной массой и плотностью $\rho=1$. То есть надо описать распределение площади этой фигуры, как функцию от $r$ - расстояния до необходимой оси? Как это сделать до меня пока доходит с трудом.
Если взять следующий простой пример: квадрат задан точками (0;1), (1;0), (0;-1) и (-1;0), то 4-мя параметрическими уравнениями, его описывающими, будут: ${\begin{cases}x=t\\y=-t+1\end{cases}$, ${\begin{cases}x=t\\y=t-1\end{cases}$, ${\begin{cases}x=t\\y=-t-1\end{cases}$ и ${\begin{cases}x=t\\y=t+1\end{cases}$. Дальше этого мои размышления не ушли .
Андрей123, мог бы ты рассчитать момент инерции на этом несложном примере? Был бы очень признателен.
Проверку можно осуществить по формуле $J=ma^2/6$, взятой из справозчика.

Андрей123 в сообщении #306886 писал(а):

И, кстати, область необязательно должна быть выпуклой.

Хорошее замечание. Для моих целей так будет даже проще

[Андрей123]

Рассчитывать мне, если честно, лень. Подынтегральное выражение записывается следующим образом:
$\int\limits_S r^2dm=\int\limits_S r^2 \rho dS=\int\limits_S (x^2+y^2) \rho dxdy=\int\limits_l \rho(\frac{x^3}{3}dy-\frac{y^3}{3}dx)=\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\rho(\frac{x(t)^3}{3}\dot y-$
$-\frac{y(t)^3}{3}\dot x)dt$,$t_{N+1}=t_1$. Дальше просто считаем.

[Spice]

Андрей123 в сообщении #307294 писал(а):

Рассчитывать мне, если честно, лень. Подынтегральное выражение записывается следующим образом:
$\int\limits_S r^2dm=\int\limits_S r^2 \rho dS=\int\limits_S (x^2+y^2) \rho dxdy=\int\limits_l \rho(\frac{x^3}{3}dy-\frac{y^3}{3}dx)=\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{t_i}^{t_{i+1}}\rho(\frac{x(t)^3}{3}\dot y-$
$-\frac{y(t)^3}{3}\dot x)dt$,$t_{N+1}=t_1$. Дальше просто считаем.

Андрей123, все получилось. Ты сильно мне помог!
Спасибо, дружище!

[sumus17]

Доброго времени суток, участникам форума.

Я пытаюсь разобраться с нахождением момента инерции для плоских фигур, на основе теоремы Грина (при p=1, для задач строительной механики). Spice если Вам не трудно, не могли бы Вы расписать подробнее как бы Вы находили момент для фигуры заданной точками:

P1 -0.1732 1.5182
P2 0.5432 0.268
P3 1.5617 -0.0337
P4 0.4655 -1.0597
P5 -1.0277 0.3112

При этом функции, образованные парами точек P1-P2, P2-P3... P5-P1 записываются так:

$y1 = -1.7451144611948632049*x + 1.2159461753210496929$
$y2 = -0.29621993127147766323*x + 0.42890666666666666667$
$y3 = 0.93596059113300492611*x - 1.4953896551724137931$
$y4 = -0.91809536565764800429*x - 0.63232660728636485400$
$y5 = 1.4125219426565242832*x + 1.7628488004681100059$


Посчитал в AutoCAD момент инерции, получается:
Moments of inertia: X: 0.7559, Y: 0.7795

Я вывел уравнение в MathCad для сегмента полигона, дающего вкладку в общий момент инерции, но оно слишком громоздкое, чтобы тут набивать. По этой формуле я проверил, несколько тестовых задач. Одна из них, как в первоначальном примере (квадрат задан точками (0;1), (1;0), (0;-1) и (-1;0)), так вот этот пример весьма точно совпадет с точным решением. Но проверяя другие примеры, часто результат не совпадает (скорее даже близко не похож) с точным по книжке или с посчитанным в AutoCAD. Видимо где-то ошибка, но не пойму где. Поэтому хотел бы увидеть как другие люди решили бы данный пример.

И еще, нашел пример вот тут: http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmaths ... tema13.htm Пример 6., кто-нибудь может объяснить, почему $dt$ то отрицательное, то положительное. Т.к. грешу именно на знаки в своих выкладках.

Всем спасибо, кто откликнется.

[sumus17]

Кстати, на самом деле мне нужно решение момента инерции относительно осей x и y. Там исходные интегралы по площади другие будут (как например здесь http://shkola.lv/index.php?mode=cht&chtid=683), но суть от этого не поменяется, как мне кажется.

Пожалуйста, срочно нужна помощь.

[Spice]

Вот как считал я.



Удачи!

[sumus17]

Spice спасибо огромное, я точно так же и решал, кроме знака прозводной. Поэтому остается вопрос, о том почему производная $\dot y$ берется то с плюсом, то минусом. Судя по рисунку Вы с минусом взяли для первого и третьего участка. Это связано с возрастанием или убыванием функции $y(t)$ или как-то со знаками самого аргумента $t$, можете объяснить правило?

Спасибо.

[Spice]

На рисунке ниже интегралов описаны 4 системы, которые задают соответствующие отрезки параметрическими уравнениями. Как видно для 1-ой и 3-ей системы производная от Y дает -1. От сюда и знак минус)

[sumus17]

А все понятно, ключевое слово "параметрические уравнения". Это уравнение вида:
$y(t)=(1-t)*r_0+t*r_1, t=\{0;1\} $
где

$r_0=\{x_1,x_2,x_3...x_n \}$
$r_1=\{y_1,y_2,y_3...y_n \}$

$x_1,x_2,x_3...x_n$ - вектор координат $x$ точек полигона
$y_1,y_2,y_3...y_n$ - вектор координат $y$ точек полигона.

я прав?

Короче, все равно у меня не получается нужный мне результат, невезуха.
у меня основное выражение $J_y=\int\limits_S x^2dy$
Все делаю по аналогии, но все равно результат не верный выходит.

[Spice]

Насколько я понимаю у тебя проблемы с понимание параметрических уравнений. Если разберешься в них, все станет ясно.

Подробней - в личке.