От графика к функции.

[degtyar2000]

Здравствуйте!
Обычно график строится из функции, а можно ли как-нибудь получить функцию из графика? Существуют ли какие нибудь-программы для таких действий? Мне кажется это очень удобно для моделирования определенных процессов.
Спасибо!

[VoloCh]

График функции - это множество пар $(x,f(x))$ из декартового произведения $X\times Y$ множества определения $X$ и множества значений $Y$. Так что если график задан, то, естественно, и функция получается автоматически. Или вы что имели в виду?

[degtyar2000]

Я имел в виду следующую ситуацию: в результате физического эксперимента были получены графики между двумя физическими величинами (например X и Y). Задача - получить уравнение, описывающее происходящий процесс, т.е зависимость Y=f(X), т.е. проще сказать смоделировать уравнением физический процесс.

[VoloCh]

degtyar2000 в сообщении #305593 писал(а):

Я имел в виду графики между двумя физическими величинами

Аааа.... это... Стада исследователей прошли, тонны литературы написано. Хоть куда-нить сходите...в либрарий, чтоли...

Но главное, что вам надо будет - это зафиксировать класс функций, то есть угадать его самостоятельно. А потом еще суметь выговорить, что значит "смоделировать", или "быть похожим"... За вас это никто не сделает и обычно на этом этапе все и кончается...

[worm2]

VoloCh писал(а):

...и обычно на этом этапе все и кончается...

В смысле, обычно после этого этапа нужно просто тупо применить метод наименьших квадратов :)
С него же новичку стоит и начать, вот такой парадокс

[Circiter]

2degtyar2000
Cf. аппроксимация.

[VoloCh]

worm2 в сообщении #305640 писал(а):

VoloCh писал(а):

...и обычно на этом этапе все и кончается...

В смысле, обычно после этого этапа нужно просто тупо применить метод наименьших квадратов :)
С него же новичку стоит и начать, вот такой парадокс

Ничего подобного! Кончается - это значит кончается и все. То есть большинство задающих подобный вопрос не могут сформулировать что такое "похоже". А метод наименьших квадратов применим только в случае квадратичного функционала, то есть когда зависимость от неизвестных параметров - линейна, а похожесть меряется суммой квадратов отклонений. Реально интересные слачаи не вкладываются в описанные выше узкие рамки. То есть, я хочу сказать, что (1) жизнь совсем нелинейна, и (2) критерии совсем не квадратичные.

Давайте, например, рассмотрим точки типа (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,0), (5,5). Зададимся вопросом построения такой функции $y=ax+b$ (линейной!!!), что какая-та приятная функция от отклонений минимальна. Если "приятная функция" будет суммой квадратов отклонений, то прямая будет гадкой и непохожей на очевидный график, а вот если "приятная функция" - это сумма модулей отклонений (еще проще, но недифференцирума), то ответом будет функция $y=x$, только вот как вы выразились "тупо просто" применить какой-либо очевидный метод не получицца. Или чего, все "новички" массово знакомы с производной Кларка, с эпсилон-вариационными принципами и прочей шнягой??? А если функция $y$ не будет линейной от $a$ и $b$, то ваще туши свет?

Примечание для математических "зануд": мой пример модельный, демонстрирует качественный результат

[mitia87]

С математической точки зрения в такой постановке, конечно, больше вопросов, чем ответов, начиная с вопросов корректности. С физической точки зрения большинство из них реально отпадают: ясно про единственность, ясно, что минимизировать. Реально остается самый главный вопрос: о сводимости к линейной модели. Вот теоретически вам кажется, что зависимость выражается какой-то заданной функцией - пересчитываете график - получается прямая с погрешностью - все ОК. Если же нет, то плохая модель и надо дальше думать... А то построите какой-то там полином и что с ним делать?!

Вот вам пример из жизни http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_state
Virial equation of state
$\frac{pV_m}{RT} = 1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2} + \frac{D}{V_m^3} + \dots$
$B = -V_c \,$
$C = \frac{V_c^2}{3}$

[Maslov]

VoloCh в сообщении #305768 писал(а):

А метод наименьших квадратов применим только в случае квадратичного функционала, то есть когда зависимость от неизвестных параметров - линейна, а похожесть меряется суммой квадратов отклонений.

Стесняюсь спросить: а нелинейный МНК что, забанили? И всю идентификацию нелинейных моделей вместе с ним?

[VoloCh]

Maslov в сообщении #305778 писал(а):

VoloCh в сообщении #305768 писал(а):

А метод наименьших квадратов применим только в случае квадратичного функционала, то есть когда зависимость от неизвестных параметров - линейна, а похожесть меряется суммой квадратов отклонений.

Стесняюсь спросить: а нелинейный МНК что, забанили? И всю идентификацию нелинейных моделей вместе с ним?

Не стесняйтесь, спрашивайте! Отвечаю: да, забанили. Кто? Да я и забанил!
А как там минимум ищецца? Градиентным спуском? Тада точно в бан!

[mserg]

По существу речь идет о построении модели (здесь функции) по экспериментальным данным. Кроме классических методов подбора вручную вида функции и постоянных в ней с помощью МНК, широко известно генетическое программирование (Koza, 1992). Наверняка можно найти работоспособные программы в Интернет и опробовать их. Можно также посмотреть черновик более совершенной технологии по этой теме здесь http://np-soft.ru/downloads/automodel.zip

[ewert]

VoloCh в сообщении #305847 писал(а):

А как там минимум ищецца? Градиентным спуском? Тада точно в бан!

Только если критерий минимизации негладок (если гладок -- то градиентный спуск + Ньютон вполне годятся).

А если негладок -- то можно просто случайным поиском.

[Maslov]

VoloCh в сообщении #305847 писал(а):

Да я и забанил!

Ну если только Вы, тогда еще ладно...

mitia87 в сообщении #305777 писал(а):

Реально остается самый главный вопрос: о сводимости к линейной модели.

Это не самый главный вопрос. Во многих случаях достаточно успешно можно идентифицировать нелинейные модели, представленные, например, в виде системы дифференциальных уравнений. А самый главный вопрос, который надо задать себе перед началом построения любой модели -- это вопрос "зачем". Другими словами, какие задачи мы собираемся с помощью этой модели решать. И от ответа на этот вопрос уже зависят и вид модели, и требования к точности, и методы идентификации.

VoloCh в сообщении #305768 писал(а):

рассмотрим точки типа (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,0), (5,5). Зададимся вопросом построения такой функции $y=ax+b$ (линейной!!!), что какая-та приятная функция от отклонений минимальна. Если "приятная функция" будет суммой квадратов отклонений, то прямая будет гадкой и непохожей на очевидный график, а вот если "приятная функция" - это сумма модулей отклонений (еще проще, но недифференцирума), то ответом будет функция $y=x$, только вот как вы выразились "тупо просто" применить какой-либо очевидный метод не получицца

Тут встает вопрос, в чем причина значительного отклонения от прямой в точке (4, 0). Если это просто выброс, то его надо корректировать до использования данных для построения аппроксимирующей зависимости (на стадии предварительной обрабоки). Если же он отражает существенную характеристику процесса, то, отрезав его за счет выбора критерия в виде суммы модулей, можно выплеснуть воду вместе с ребенком.

Ну а вид функционала невязки (сумма квадратов, сумма модулей или еще что-нибудь) определяется нашими предположениями о законе распределения ошибок. В частности, если мы предполагаем нормальный вид распределения, то наилучшие оценки по методу наибольшего правдоподобия дает именно МНК. Да и с вычислительной точки зрения он проще (за счет специфической структуры гессиана).

[VoloCh]

Maslov в сообщении #305928 писал(а):

Ну если только Вы, тогда еще ладно...

Согласен. Хотя, конечно, я знаю еще кое-кого, кто...

Maslov в сообщении #305928 писал(а):

А самый главный вопрос, который надо задать себе перед началом построения любой модели -- это вопрос "зачем".

Согласен, именно про это я и писал, что тут все заканчивается.

Maslov в сообщении #305928 писал(а):

Тут встает вопрос

Не согласен, не встает. Я привел пример задачи без этого вашего "вставшего" вопроса, так как это модельный пример неоднозначности выбора критерия. Тут скорее надо адресоваться к вашему начальному "зачем?"

Maslov в сообщении #305928 писал(а):

Если же он отражает существенную характеристику процесса, то, отрезав его за счет выбора критерия в виде суммы модулей, можно выплеснуть воду вместе с ребенком.

А если задача была "выплеснуть воду", а не "оставить ребенка"?

Maslov в сообщении #305928 писал(а):

Да и с вычислительной точки зрения он проще (за счет специфической структуры гессиана).

МНК и другие методы 200летней давности и исплользуют часто только потому, что они "проще".

[Maslov]

VoloCh в сообщении #306167 писал(а):

Не согласен, не встает. Я привел пример задачи без этого вашего "вставшего" вопроса, так как это модельный пример неоднозначности выбора критерия.

То, что Вы привели, -- это не пример задачи. По крайней мере, не пример содержательной задачи моделирования. Это просто набор точек, через который Вы с известной Вам одному целью решили провести прямую, не указав никаких критериев качества такого построения. С таким подходом никакое решение не является удовлетворительным, какие бы эффективные методы ни применялись: всегда можно сказать "а что если мне надо совсем другое?".

VoloCh в сообщении #306167 писал(а):

МНК и другие методы 200летней давности и исплользуют часто только потому, что они "проще".

Еще раз: МНК дает оценку максимального правдоподобия в случае предположения о нормальном законе распределения ошибки. Если закон распределения другой, то надо использовать другие критерии. Или если есть необходимость уменьшить влияние аномальных выбросов, флаг Вам в руки -- используйте в качестве критерия сумму модулей.
А что плохого в том, что метод проще? (Честно говоря, не понял смысла закавычивания). Качество модели определяется отнюдь не методом, которым она построена, а ее адекватностью решаемой задаче, поэтому если простой метод позволяет построить адекватную модель, так и слава богу.