среднее число опытов до появления события

[caxap]

Если вероятность появления события равна $p$, то чему равно среднее число опытов до появления этого события. $1/p$?

[gris]

Просуммируйте ряд и сами увидите.
Сразу пэ, на второй раз купэ, на третий кукупэ и так далее. А среднее это матожидание. Пардон за отсутствие латинского шрифта.

[caxap]

Я пробовал, но там получается сумма $\sum_{i=0}^{\infty} iq^i$, а я не знаю как её вычислить

[meduza]

caxap в сообщении #305091 писал(а):

Я пробовал, но там получается сумма $\sum_{i=0}^{\infty} iq^i$, а я не знаю как её вычислить

Есть полезный способ нахождения некоторых сумм -- выделение первого и последнего члена и выражение суммы из уравнения. В данном случае обозначим $S_n=\sum\limits_{i=0}^n iq^i$. Выделим из $S_{n+1}$ последний член:

$$S_{n+1}=S_n+q^{n+1} (n+1)$$

и первый

$$\begin{gathered}S_{n+1}=0+\sum_{i=1}^{n+1} iq^i=\sum_{i=0}^n (i+1)q^{i+1}=qS_n+\sum_{i=0}^n q^{i+1}=qS_n+\frac{q-q^{n+2}}{1-q}\\ \Rightarrow S_n(1-q)=\frac{q-q^{n+2}}{1-q}-q^{n+1} (n+1)\end{gathred}$$

При $n\to\infty$ получим $S_n(1-q)=\dfrac{q}{1-q}$, $S_n=\dfrac{q}{(1-q)^2}$.

(Оффтоп)

Учтено, что $\lim\limits_{n\to\infty} nq^n=0$ ($q<1$), по т. Штольца

Хотя может проще можно. Например, применив суммирование частям (см. Конкретную математику).

[caxap]

Спасибо всем!! Мат. ожидание получилось $1/p$

[meduza]

caxap
Ну естественно. Если вероятность какого-то события равна, скажем, $1/10$, то это значит, что в среднем оно случается в одном из десяти опытов.

[PAV]

Вообще-то неверно. Ответ будет не такой. И обоснование не подходит. Событие действительно в среднем происходит раз в 10 опытов (в приведенном примере), но это не означает, что в среднем с начала опытов нам придется ждать 10 раз, чтобы его дождаться. На самом деле будет меньше.

Приведите выражение величины, которую хотите найти, в виде ряда, а уже потом посмотрим, как его находить.

[ewert]

PAV в сообщении #305131 писал(а):

Приведите выражение величины, которую хотите найти, в виде ряда,

gris в сообщении #305037 писал(а):

Сразу пэ, на второй раз купэ, на третий кукупэ и так далее.

[PAV]

Да, согласен, тогда правильно. Я стал считать число опытов до успешного (не включая его). Тогда, как и очевидно, на единицу меньше получается.

В общем, проехали.

[ewert]

meduza в сообщении #305100 писал(а):

Хотя может проще можно. Например, применив суммирование частям

Можно (и нужно), кстати, ещё проще:

$$\sum_{i=1}^{\infty}i\,q^i=q\left(\sum_{i=0}^{\infty}q^i\right)'_q=q\left({1\over1-q}\right)'_q={q\over (1-q)^2}.$$