почти константа

[Paata]

пусть $\delta>1$.
доказать что для любых положительных чисел $a,b$ : $a \leq \delta e^{b}$ ушествует положительная функция $ f $ такая что $ \int_{0}^{1}f(x)dx=a $ и $ \int_{0}^{1} \ln f(x) dx = b$
при этом выполняется неравенство $\int_{I}f \leq \delta \exp ( \int_{I} \ln f)$ для всех диадических интервалов . $ I \subset [0,1]$ т.е. интервалов вида $[\frac{k-1}{2^{n}},\frac{k}{2^{n}}]$ для всех $k \leq 2^{n}$

[paha]

Попробуйте $f(x)=cx+d$ и подберите $c,d\in\mathbb{R}$
а там, глядишь, и над неравенством можно будет подумать

[Paata]

почему неравенство будет выполнятся ?

нет, я понимаю что это задача типа: понять при каких параметрах уравнение имеет положительние решениа всетаки нерваенство нужно проверять

[paha]

так явный вид функции будет: легче проверять!

[paha]

и, заметим, что по необходимости $e^b<a$

остальное -- выпуклость

и диадические интервалы не вижу какую роль тут играют

[Paata]

Нет.

неравенство которое вы пишите это есть неравенство Иенсена, она всегда выполняется а неравенство которое должно выполнятся это обратное к иенсени с константой делта. вот тут и появляется сложность.
функция котороую вы предлогаетет не всегда подходить для всех точек $a,b$.

я уже придумал нужную функцию ( $f(x)=\exp(dx+c)$, там в одном месте шинус возрсатает :) ) , поэтому вопрос снят.

[paha]

подскажите такую функцию, для которой $b=1000000$ и $a=0.0001$

-- Чт апр 01, 2010 00:51:22 --

там же возникает соотношение

$$ \frac{\sinh t}{t}=ae^{-b} $$

[Paata]

я забыл написать еще одно условие: $e^{b} \leq a$