Неизмеримые функции

[Padawan]

Профессор Снэйп
Верно-тот же самый фокус с классами эквивалентности по отношению $x\approx y$, если $x-y\in\mathbb{Q}$, который используется при построении неизмеримого подмножества отрезка.

[RIP]

Более того, существует множество, которое в пересечении с каждым измеримым (по Лебегу) множеством положительной меры даёт неизмеримое множество. Построение очень похожее.

[AD]

dudkaman в сообщении #303060 писал(а):

Так, погодите, а у меня образ - не множество меры нуль. У меня отрезок.

Подумайте повнимательнее. Прообраз всей области значений уж точно всегда измерим, даже если функция неизмерима [но измерима область определения]. А функция у нас там из $[0,1]$ в $[0,1]$, как и требовалось.

[dudkaman]

Замечательно. Тогда такой вопрос. Какие накладываются условия на отображение, для измеримости прообраза? (Вообще и в моём конкретном случае).

[AD]

Там же, по ссылке:

Padawan в сообщении #293266 писал(а):

Всё-таки вот достаточное условие, чтобы прообраз измеримого множества был измерим: область определения функции можно разбить на счетное число интервалов, в каждом из которых функция либо 1) постоянна, либо 2) монотонна и абсолютно непрерывна, причем обратная также абсолютно непрерывна.

Можно еще такое сформулировать: если производная всюду есть и равна нулю только на не более чем счетном множестве, то тоже всё хорошо.

[dudkaman]

AD в сообщении #304701 писал(а):

Там же, по ссылке:
Padawan в сообщении #293266 писал(а):
Всё-таки вот достаточное условие, чтобы прообраз измеримого множества был измерим: область определения функции можно разбить на счетное число интервалов, в каждом из которых функция либо 1) постоянна, либо 2) монотонна и абсолютно непрерывна, причем обратная также абсолютно непрерывна.
Можно еще такое сформулировать: если производная всюду есть и равна нулю только на не более чем счетном множестве, то тоже всё хорошо.

Великолепно! А ссылки на источники какие-нибудь уважаемые эти факты имеют?

[AD]

dudkaman в сообщении #304706 писал(а):

Великолепно! А ссылки на источники какие-нибудь уважаемые эти факты имеют?

Ну там же в той же теме это всё и расписано по идее

[dudkaman]

Огромное спасибо!

[dudkaman]

AD в сообщении #304701 писал(а):

Там же, по ссылке:Всё-таки вот достаточное условие, чтобы прообраз измеримого множества был измерим: область определения функции можно разбить на счетное число интервалов, в каждом из которых функция либо 1) постоянна, либо 2) монотонна и абсолютно непрерывна, причем обратная также абсолютно непрерывна.

И всё-таки я не нашёл источника на этот факт...

[AD]

Ну очевидно же. Достаточно доказать, что прообраз $f^{-1}(Z)$ множества меры нуль $Z$ измерим. Достаточно доказать, что пересечение $f^{-1}(Z)\cap I$ этого прообраза с любым из упомянутых в формулировке интервалов $I=(c,d)$ измеримо. Если на этом интервале функция постоянна, то доказывать нечего. Если обратная абсолютно непрерывна, то она обладает $N$-свойством Лузина, и тогда $f^{-1}(Z)\cap I$ имеет меру нуль как подмножество образа множества меры нуль, и потому измерим. Собственно, всё. Тут наверняка многие условия лишние.

Скажем так, соображений из той темы Padawanу хватило, чтобы это сообразить

P.S. Короче, теперь я понимаю, зачем объединяют темы.

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #293155 писал(а):

Что-то нигде не могу найти примеры неизмеримых функций .

Ну что Вы! Этоже так просто!
Берем множество $X=\{1,2,3\}$ и $\sigma-$ алгебру: $\{\{1\},\{2,3\},\emptyset,X\}$
Пример неизмеримого множества: $U=\{1,2\}$. И неизмеримой функции $\chi_U$

[AD]

terminator-II, ну что Вы! Зачем так сложно!
Берём множество $X=\{1,2\}$ и $\sigma$-алгебру: $\{\varnothing,X\}$
Пример неизмеримого множества: $U=\{1\}$. И неизмеримой функции $\chi_U$

[rauan]

AD в сообщении #293441 писал(а):

Padawan в сообщении #293380 писал(а):

За счет быстрого убывания сумма будет класса $C^\infty$, а размер шапочек выбирается так, чтобы интеграл по $i$-ому смежному интервалу множества $K_x$ совпал с длиной $i$-ого смежного интервала множества $K_y$.

Здесь нужна некоторая аккуратность. Если мы зафиксировали интеграл по отрезку, то сразу получаем оценку снизу на размер шапочки. То есть требования, вообще говоря, противоречивы. Думаю, правильнее говорить так: Мы рисуем шапочки так, чтобы получилось $C^\infty$, и только потом соображаем, каким у нас получилось $K_y$. А оно заведомо получится меры нуль, потому что формула Ньютона--Лейбница.

В построении этой функции, есть непонятные для меня вещи. Как можно гарантировать, что сумма всех шапочек на смежных интервалах функция строго положительная?

[rauan]

Согласен, глупый вопрос. Но вот назрел еще один менее тривиальный. Вот ребята там выше на стене построили бесконечно дифференцируемую строго возрастающую функцию. Хорошо. Известно, что в определенном интеграле Лебега можно делать замену переменной $x=\varphi(t)$, где $\varphi(t)$-абсолютно непрерывная функция. Можно заметить, что построенная в этой теме функция $f(x)$ есть бесконечно дифференцируемая функция на отрезке. Следовательно функция $f(x)$ абсолютно непрерывная. Тогда композиция измеримой с абсолютно непрерывной должна быть априори измерима иначе теореме о замене переменной не имеет смысла. Как так?

[AD]

Цитата:

Как так?

$$\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1f(\varphi(x))\,d\varphi(x),$$

если мы для простоты полагаем, что $\varphi(1)=1$ и т.п.

Функция $f(\varphi)$ здесь измерима относительно меры стилтьеса, порождённой функцией $\phi$, а эта мера игнорирует значения функции $f(\varphi)$ на множестве положительной меры (хотя для функции $f$ эти значения принимаются лишь на множестве меры нуль и не влияют на измеримость, то есть они могут быть вообще произвольными).