Треугольник/4-угольник внутри выпуклой фигуры площади S

[DiviSer]

Верно ли такое утвеждение (незнаю правильно или нет):
каждая выпуклая фигура площади $S$ содежит треугольник площади $\frac25S$.
или такая: каждая выпуклая фигура содержит прямоугольник площади $\frac S2$. ?

[neo66]

Похоже, верно и то и другое утверждение. Смотрите задачи $9.55$ и $9.56$ в книге Прасолова: Задачи по планиметрии.

Правда, там доказываются несколько более слабые утверждения. Но, по крайней мере, для случая вписанного параллелограмма его доказательство, слегка модифицированное, проходит и для прямоугольника.

В случае треугольника, вписанного в выпуклую фигуру, кажется, "наихудший" случай релизует равносторонний треугольник, вписанный в круг. (В этом случае отношение площадей больше $0.4134$.) Но, доказать не могу.

Да, это верно. Доказательство см. в книжке: Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве ФМЛ, 1958.

[DiviSer]

neo66 в сообщении #304185 писал(а):

Да, это верно. Доказательство см. в книжке: Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве ФМЛ, 1958.

Вроде там такое не доказывается.

neo66 в сообщении #304185 писал(а):

Правда, там доказываются несколько более слабые утверждения. Но, по крайней мере, для случая вписанного параллелограмма его доказательство, слегка модифицированное, проходит и для прямоугольника.

В случае треугольника, вписанного в выпуклую фигуру, кажется, "наихудший" случай релизует равносторонний треугольник, вписанный в круг. (В этом случае отношение площадей больше $0.4134$.) Но, доказать не могу.

думаю самый "крайний" коэффицент и будет этим числом. Но верно ли такое утверждение, и доказано ли?

neo66 в сообщении #304185 писал(а):

Правда, там доказываются несколько более слабые утверждения. Но, по крайней мере, для случая вписанного параллелограмма его доказательство, слегка модифицированное, проходит и для прямоугольника.

Не думаю так как для самого параллелограмма этот коэффициент может быть равен как раз таки $1/2$. Если например взять ромб. так что помоему для прямогуольника так не получится.

[Батороев]

DiviSer в сообщении #303619 писал(а):

Верно ли такое утвеждение (незнаю правильно или нет):
каждая выпуклая фигура площади S содежит треугольник площади (2/5)*S ?

Может быть, попробовать доказать эквивалентное утверждение:
"В любой выпуклой фигуре можно построить треугольник, каждая из сторон которого может поделить площадь выпуклой фигуры в отношении не ниже, чем $4:1$"

В случае доказательства данного утверждения имеем:
$s_0+s_1+s_2\geq 4s_3$
$s_0+s_1+s_3\geq 4s_2$
$s_0+s_2+s_3\geq 4s_1$,
где $s_0$ - площадь треугольника, $s_1;s_2;s_3$ - площади частей выпуклой фигуры, отрезанных сторонами треугольника.

Суммируя все уравнения, получим:
$s_0\geq \frac {2}{3}(s_1+s_2+s_3) $
или
$s_0\geq\frac {2}{5} S $.

[paha]

Батороев в сообщении #304324 писал(а):

Может быть, попробовать доказать эквивалентное утверждение:

Не уверен, что оно эквивалентное... боюсь ошибиться, но прилепите на основание равнобедренного треугольника площади $A$ выпуклую шапочку площади $A/2+2\epsilon$, а на равные стороны выпуклые шапочки площади $A/2-\epsilon$.

[Батороев]

paha в сообщении #304339 писал(а):

Не уверен, что оно эквивалентное... боюсь ошибиться, но прилепите на основание равнобедренного треугольника площади $A$ выпуклую шапочку площади $A/2+2\epsilon$, а на равные стороны выпуклые шапочки площади $A/2-\epsilon$.

Может так статься, что фигура, полученная из выпуклых шапочек, будет местами впуклой.

-- Вт мар 30, 2010 13:24:09 --

Если все же допустить, что полученная по Вашему предложению фигура будет выпуклой, то значит в нее можно вписать другой треугольник. По крайней мере, исходное утверждение говорит об этом.

[DiviSer]

Батороев в сообщении #304324 писал(а):

DiviSer в сообщении #303619 писал(а):

Верно ли такое утвеждение (незнаю правильно или нет):
каждая выпуклая фигура площади S содежит треугольник площади (2/5)*S ?

Может быть, попробовать доказать эквивалентное утверждение:
"В любой выпуклой фигуре можно построить треугольник, каждая из сторон которого может поделить площадь выпуклой фигуры в отношении не ниже, чем $4:1$"

если такой треугольник брать то получается площадь у треугольника как минимум S/4, что гораздо меньше чем 0.4*S

[Батороев]

DiviSer в сообщении #304382 писал(а):

если такой треугольник брать то получается площадь у треугольника как минимум S/4, что гораздо меньше чем 0.4*S

В цитируемом Вами сообщении я специально ниже привел выкладки.
Дополнительно предагаю рисунок:

[DiviSer]

Батороев в сообщении #304398 писал(а):

DiviSer в сообщении #304382 писал(а):

если такой треугольник брать то получается площадь у треугольника как минимум S/4, что гораздо меньше чем 0.4*S

В цитируемом Вами сообщении я специально ниже привел выкладки.
Дополнительно предагаю рисунок:

В этом случае дейсвительно получается что треугольник есть.. Но всегда ли это выполнятся для всех выпуклых фигур (т. е. найдутся ли такие стороны для треугольника)?

[neo66]

DiviSer в сообщении #304249 писал(а):

neo66 в сообщении #304185 писал(а):

Да, это верно. Доказательство см. в книжке: Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве ФМЛ, 1958.

Вроде там такое не доказывается.

Доказывается, и даже больше того.
Страница 69 и далее.
А именно, для любой выпуклой фигуры площади $S$ существует вписанный треугольник, площади не менее $\frac{3\sqrt3}{4\pi} S > \frac 2 5 S $

neo66 в сообщении #304185 писал(а):

Правда, там доказываются несколько более слабые утверждения. Но, по крайней мере, для случая вписанного параллелограмма его доказательство, слегка модифицированное, проходит и для прямоугольника.

DiviSer в сообщении #304249 писал(а):

Не думаю так как для самого параллелограмма этот коэффициент может быть равен как раз таки $1/2$. Если например взять ромб. так что помоему для прямогуольника так не получится.

Не понял этих слов. Попробую выразиться подробней:
У Прасолова доказано, что, если взять выпуклую фигуру и любую прямую на плоскости, то существует вписанный параллелограмм, у которого две стороны параллельны этой прямой и площадь которого не меньше половины площади нашей фигуры. Будем теперь непрерывно вращать прямую, так, что она повернется на $180$ градусов. По-моему ясно, что по где-то по дороге наш параллелограмм превратится в прямоугольник. Хотите верьте, хотите проверьте.

[paha]

neo66 в сообщении #304495 писал(а):

У Прасолова доказано, что, если взять выпуклую фигуру и любую прямую на плоскости, то существует вписанный параллелограмм, у которого две стороны параллельны этой прямой и площадь которого не меньше половины площади нашей фигуры. Будем теперь непрерывно вращать прямую, так, что она повернется на $180$ градусов. По-моему ясно, что по где-то по дороге наш параллелограмм превратится в прямоугольник. Хотите верьте, хотите проверьте.

Попробуем проверить.
а) Ваше утверждение будет претендовать на верность, если "большой" параллелограмм непрерывно зависит от угла вращения
б) повернутый Вашим способом на $\pi$ параллелограмм может перейти в себя (не в свой зеркальный образ!) - но даже при этом ему не обязательно по дороге становиться прямоугольником

-- Вт мар 30, 2010 16:19:56 --

у Тота доказано, что для $n$-угольника $T$ максимальной площади, вписанного в выпуклую фигуру площади $S$ выполнено неравенство

$$ S_T\ge \frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}S. $$

Иными словами самый худший случай -- эллипс (ровно на эллипсах равенство имеет место).

Начет прямоугольника: вопрос, как мне эксперт один подсказал, открыт.

[neo66]

paha в сообщении #304505 писал(а):

Попробуем проверить.
а) Ваше утверждение будет претендовать на верность, если "большой" параллелограмм непрерывно зависит от угла вращения

А вы сомневаетесь?

Цитата:

б) повернутый Вашим способом на параллелограмм может перейти в себя (не в свой зеркальный образ!) - но даже при этом ему не обязательно по дороге становиться прямоугольником

Контрпример в студию.

[ИСН]

Не надо на пи. (При этом, действительно, параллелограмм остался бы сам собой.) Надо на столько, чтобы одна сторона перешла в соседнюю. И, соответственно, острый угол - в тупой. Где-то между будет...

[paha]

neo66 в сообщении #304521 писал(а):

А вы сомневаетесь?

Это не вопрос веры. Просто мне это не очевидно. Вот по каким соображениям.
Мы можем не дождаться того, чтобы сторона перешла в соседнюю: почему бы множеству параллелограммов с параллельными основаниями равной (максимальной для данного направления) площади не оказаться несвязным?

Вот формулой запись: пусть $S(l)$ -- максимальная площадь вписанных параллелограммов со стороной, параллельной прямой $l$ (обзовем множество таких параллелограммов $T_l$). Почему множество

$$ \{T\in T_l:\,S_T=S(l)\} $$

должно быть связным?

Пример я построить не могу. Может быть и нет примера. Но ведь это математика, а не политический диспут.

ИСН в сообщении #304524 писал(а):

Не надо на пи. (При этом, действительно, параллелограмм остался бы сам собой.) Надо на столько, чтобы одна сторона перешла в соседнюю. И, соответственно, острый угол - в тупой. Где-то между будет...

Представьте, что среди параллелограммов со сторонами, параллельными "соседней", есть параллелограмм бОльшей площади чем тот, с которого мы начали

[DiviSer]

neo66 в сообщении #304495 писал(а):

Доказывается, и даже больше того.
Страница 69 и далее.
А именно, для любой выпуклой фигуры площади $S$ существует вписанный треугольник, площади не менее $\frac{3\sqrt3}{4\pi} S > \frac 2 5 S $

там действительно есть)) значит это задача снимается.

neo66 в сообщении #304495 писал(а):

Не понял этих слов. Попробую выразиться подробней:
У Прасолова доказано, что, если взять выпуклую фигуру и любую прямую на плоскости, то существует вписанный параллелограмм, у которого две стороны параллельны этой прямой и площадь которого не меньше половины площади нашей фигуры. Будем теперь непрерывно вращать прямую, так, что она повернется на $180$ градусов. По-моему ясно, что по где-то по дороге наш параллелограмм превратится в прямоугольник. Хотите верьте, хотите проверьте.

А если допустим угол параллелограмма осстается неизменной? или почти неменяется?

ИСН в сообщении #304524 писал(а):

Не надо на пи. (При этом, действительно, параллелограмм остался бы сам собой.) Надо на столько, чтобы одна сторона перешла в соседнюю. И, соответственно, острый угол - в тупой. Где-то между будет...

Ваша идея понятна.. но если вдруг такая ситуация: данный параллелограмм будет оптимальной по прямой которая парллельна двум сторонам параллелограмма, но не по воторой прямой (которая парллельна остальным сторонам). в этом случае угол не переходит строго во второй соседний угол. То есть когда мы "достигнем" вторую прямую, то мы получим уже другой оптимальный парллелограмм.

paha в сообщении #304616 писал(а):

Это не вопрос веры. Просто мне это не очевидно. Вот по каким соображениям.
Мы можем не дождаться того, чтобы сторона перешла в соседнюю: почему бы множеству параллелограммов с параллельными основаниями равной (максимальной для данного направления) площади не оказаться несвязным?

да, думаю такое возможно. если есть такая фигура для которй максимальый параллелограмм может изменяться не обязательно непрерывно от угла.