Две первообразные одной функции

[Dialectic]

У меня возник такой вопрос: почему две различные первообразные от некоторой
наперёд заданной функции, могут разнитЬся между собой лишь на константу а
не на какую- либо другую функцию? То есть почему они равны с точностью до константы
а не с точностью до функции скажем:y=x^2? Как это строго доказать?
Ведь мало ли какие там первообразные может иметь исходная функция.



Заранее всем спасибо.

[Руст]

Две первообразные отличаются на функцию, производная которой равна нулю.

[Dialectic]

Такой элементарный аргумент оказался- спасибо.

Задача возникла из рассмотрения функции1=sin^2x+cos^2x[/math].

[bot]

Для начала уточним, что понимается под первообразной.

Определение. Пусть функция F дифференцируема внутри промежутка I с концами aи b, каждый из которых может быть конечным числом или символом оо, может включаться или не включаться в промежуток I, и непрерывна на тех концах, которые включены в I.
Тогда функция F называется первообразной для функции f на промежутке I, если внутри промежутка F' = f.

В одну сторону очевидно: если две функции F и G отличаются на сонстанту, то их производные равны. Для обратного нужна
Теорема Ланранжа. Если функция H непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в его внутренних точках, то существует точка c \in (a,b}, для которой H(b)-H(a)=H'(c)(b-a)
Замечание. Вместо непрерывности внутри можно говорить о непрерывности на концах, ибо во внутренних точках непрерывность вытекает из дифференцируемости.

Пусть теперь две функции F и G являются первообразными для одной и той же функции f на промежуткеI. Рассмотрим функцию H=F-G. Зафиксируем произвольную точку d \in I. Тогда при любом x \in I на отрезке [d, x] (или на [x, d]) по теореме Лагранжа имеем:
H(x)-H(d)=H'(c)(x-d)=0, то есть H(d) и есть та константа, на которую разнятся функции F и G на промежутке I.