Задача с эллипсоидом

[alekcey]

ewert в сообщении #303325 писал(а):

alekcey в сообщении #303309 писал(а):

Пусть края дырки, а не сама дырка являются пространственной линией.

Края не могут послужить линией. Конкретнее, плиз.

Не занимайтесь ерундой.
Вот уравнение

$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1; \\ d*x+e*y+f*z+g=0;\end{cases}$$

Пересечение эллипсоида и плоскости.
И где Ваше его решение…

[ewert]

alekcey в сообщении #303334 писал(а):

Не занимайтесь ерундой.

И что, эта линия есть область?...

Да впрочем ладно.
Начните обдумывание с того, почему в Вашей замечательной системе (применительно к текущей задаче) обязательно окажется $g=0$.

[alekcey]

ewert в сообщении #303348 писал(а):

Да впрочем ладно.
Начните обдумывание с того, почему в Вашей замечательной системе (применительно к текущей задаче) обязательно окажется $g=0$.

Не надо вилять. Вот Ваши слова, можете их и обдумать:

ewert в сообщении #302984 писал(а):

… Т.е. проекция на данную плоскость сечения эллипсоида некоторой другой плоскостью.

Вы сами себе поставили задачу, передёрнув условие. Откуда теперь взялась некая “область”? Короче, решите систему уравнений или скажите, что не знаете, как это сделать…

[ewert]

alekcey в сообщении #303361 писал(а):

Вы сами себе поставили задачу, передёрнув условие.

А Вы подумайте, прежде чем возражать. Подумайте, почему именно это сечение. И откуда оно взялось. Ведь конкретная система уравнений была явно предъявлена. И ежели Вы ею недовольны -- то конкрентно и недовольствуйте. Что, где, когда, почему.

[vvvv]

Ребята, что Вы ломаете копья на пустом месте. Эту задачу можно решать по-разному:
1. Отверстие (пусть в пл. XoY) есть проекция єллипсоида на пл. XoY.
2.Отверстие - есть проекция эллипса на пл. XoY , получаемого от сечения заданного (наклоненного) эллипсоида некоторой плоскостью,
проходящей через начало координат.
3.Отверсие - есть эллипс, получаемый от сечения эллипсоида плоскость, проходящей чере начало координат и затем "положенный" на
горизонтальную плоскость (XoY).
Можно привести конкретный пример

[alekcey]

vvvv в сообщении #303414 писал(а):

Ребята, что Вы ломаете копья на пустом месте. Эту задачу можно решать по-разному:
1. Отверстие (пусть в пл. XoY) есть проекция єллипсоида на пл. XoY.
2.Отверстие - есть проекция эллипса на пл. XoY , получаемого от сечения заданного (наклоненного) эллипсоида некоторой плоскостью,
проходящей через начало координат.
3.Отверсие - есть эллипс, получаемый от сечения эллипсоида плоскость, проходящей чере начало координат и затем "положенный" на
горизонтальную плоскость (XoY).
Можно привести конкретный пример

В плоскости сечения – это эллипс. Проекции на любые координатные плоскости – это эллипсы. В пространстве – это линия пересечения поверхностей со всеми координатами… Причём здесь копья? Здесь математика…

[vvvv]

Алексей Борисович! Просто непонятный спор.....
А вот иллюстрация к ранее сказанному

[ewert]

Придётся, наверное, ещё раз.

Итак, есть уравнение эллипсоида:

$Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dz^2+Exz+Fxz=1\qquad\qquad\mathrm{(1)}$.

Т.е. $f(x,y,z)=1$. Нас интересует его проекция на плоскость $XOY$. Это -- объединение всех сечений эллипсоида плоскостями $z=\mathrm{const}$. Т.е. не самих сечений, конечно, а их проекций на горизонтальную плоскость. Каждая из таких проекций -- это эллипс, уравнение которого совпадает с (1), только $z$ в нём интерпретируется как параметр, в то время как $x,y$ -- это переменные.

Если мысленно поднимать секущую плоскость, то сначала пересечений не будет, потом появится точка, которая начнёт раздуваться в расширяющиеся эллипсы, вложенные друг в друга. Когда левый край эллипса достигнет крайнего левого для самого эллипсоида положения -- эллипсы начнут смещаться, перекрывая друг друга уже лишь частично. Вверху поведение будет симметричным.

Объединение всех эллипсов -- это объединение множества их по центральному отрезку значений параметра $z$, на котором разные эллипсы не вкладываются друг в друга. Т.е. край объединения -- это огибающая этого семейства эллипсов.

А огибающая всегда получается так. Составляется система из уравнения самого семейства $f(x,y,z)=1$, к которому добавляется уравнение, полученное приравниванием к нулю производной по параметру: $\displaystyle{\partial f(x,y,z)\over\partial z}=0$. В нашем случае -- это уравнение $2Dz+2Ex+2Fy=0$ (т.е. уравнение некоторой плоскости). Выражаем отсюда $z$, подставляем в (1) -- и получаем уравнение границы проекции эллипсоида.

[ht1515]

ewert, извиняюсь ещё раз.

ewert в сообщении #303153 писал(а):

ht1515 в сообщении #303144 писал(а):

А если и там и сям отклонение будет ,то есть и с одной и с другой стороны?

А тогда этот эллипс просто развернётся по направлению той линии, к которой идёт наклон. Т.е. в окончательном уравнении надо будет просто сделать соответствующий поворот в плоскости XOY.
Как сделать этот повоторот?
Вот у нас есть проекция на плоскость ХОУ, если отклонили эллипсойд вращения в направлении ОХ оси на угол фи:

$${x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1,$$

Вот у нас есть проекция на плоскость ХОУ, если отклонили эллипсойд вращения в направлении ОY оси на угол фи:

$${x^2\over a^2}+{y^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}=1,$$

Вчера голову ломал как его развернуть ))).
Сидел читал старые лекции по АгиЛЕ.

То есть нам считать прийдется координаты центра по новой, для новой проекции элипсойда?
То есть менять систему координат дополнтельно?

$$\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ x=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$$

[paha]

Пусть у эллипсоида полуоси $a,b,c$, ось длины $2a$ (которая лежит на желтом векторе) наклонена к плоскости $Oxy$ под углом $\alpha$. И плоскость, в которой желтый вектор повернулся, образует угол $\beta$ с главной осью длины $2b$.

Какие полуоси будут у эллипса-границы проекции?


Координаты -- хорошо, а длины лучше

[ewert]

ht1515 в сообщении #303470 писал(а):

То есть менять систему координат дополнтельно?

Да, именно так. Подставить $\displaystyle\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ x=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$ в $\displaystyle{x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1$.

-- Вс мар 28, 2010 10:49:59 --

paha в сообщении #303471 писал(а):

Какие полуоси будут у эллипса-границы проекции?

Ну и какие же?...

(кстати, вряд ли это была ось $2a$ -- скорее уж $2c$)

[paha]

ewert в сообщении #303473 писал(а):

кстати, вряд ли это была ось $2a$ -- скорее уж $2c$)

обозначьте $2c$, если уж у Вас число $c$ связано с осью $Oz$

[alekcey]

ewert в сообщении #303456 писал(а):

С каких пор z стала параметром? Не надо манипулировать понятиями. Линия в пространстве задаётся или тремя явными выражениями координат от параметра, или решением системы двух неявных уравнений поверхностей, или решением системы шести параметрических уравнений двух поверхностей, или смешанных уравнений, решением системы ДУ… Проекции не могут быть полноценно отражать множество в пространстве, хотя бы из-за нарушения условия однозначности.
Виктор Афанасьевич, что такое Вы иллюстрируете? Кому-то не понятно, как получаются проекции? Вы лучше объясните кое-кому, как пересекаются поверхности, и, чтобы было понятнее, покажите отличие линии от её проекции на примере их длин, благо, данный случай замкнутый…

[ewert]

alekcey в сообщении #303476 писал(а):

С каких пор z стала параметром?

С тех пор, как она им объявлена. Как только мы объявили, что $z$ -- это параметр, так она сразу же и стала параметром.

У Вас есть что возразить по существу? Или дать альтернативное решение?

[paha]

alekcey в сообщении #303476 писал(а):

С каких пор z стала параметром? Не надо манипулировать понятиями. Линия в пространстве задаётся или тремя явными выражениями координат от параметра, или решением системы двух неявных уравнений поверхностей, или решением системы шести параметрических уравнений двух поверхностей, или смешанных уравнений, решением системы ДУ… Проекции не могут быть полноценно отражать множество в пространстве, хотя бы из-за нарушения условия однозначности.

вот, правда, тут $z$ параметр

Посмотрите на задачу так: $f(r)=0$ -- уравнение поверхности. Любой вектор $r\in{\mathbb R}^3$ однозначно представляется в виде суммы $r=\rho+tn$, где $n$ -- вектор нормали к плоскости на которую мы проектируем, а $\rho$ лежит в этой плоскости. Границы нашей проекции -- в точности концы векторов $\rho$, для которых уравнение $f(\rho+tn)=0$ имеет ровно один корень. Таким образом уравнение контура нашей проекции -- это те точки, в которых производная по $t$ обращается в ноль, т.е. решение системы уравнений $f(\rho+tn)=0$, $(\nabla f(\rho+tn),n)=0$.