Задача с эллипсоидом

[vvvv]

Вот эллипсоид вращения, наклоненный под 45 градусов и его проекция на пл. XOY.
Проекция (отверстие), действительно, является эллипсом.

[ht1515]

Значит, уравнение эллипса спроецированного на плоскость XOY:

$$Ax^2+2Bxy+CY^2-\left({E\over D}\,x+{F\over D}\,y\right)^2=1.$$

c параметрами A,B,C - понятно. Это сама форма эллипсойда.

А что делать с F,D,E коэффициентами.

ewert в сообщении #302984 писал(а):

Т.е, фактически, получится эллипс

$$\left(A-{E\over D}\right)x^2+2Bxy+Cy^2=1.$$

Если $E=0$ (т.е. эллипсоид "расположен вертикально"), то получится просто сечение его горизонтальной плоскостью. А иначе -- нет.

А если E не равно 0. Те есть косинус 90 градусов равен нулю. То есть $E=\cos(\alpha)$ . Так что ли получается? А F,D что означают тогда?

[vvvv]

Я делал не так.
Уравнения эллипсоида записывал в параметрическом виде.
С помощью матрицы вращения поворачивал его на нужный угол (скажем вокруг оси X).
Определял большую полуось эллипса -отверстия.
По имеемым полуосям записывал (в параметрическом виде) уравнение эллипса-отверстия.

[ewert]

ht1515 в сообщении #303051 писал(а):

А что делать с F,D,E коэффициентами.

Ничего не делать. Какие в исходном уравнении есть, такие и использовать.

Они, конечно, связаны с углами поворота главных осей эллипсоида по отношению к координатным, но возиться с этим в общем случае -- морока. Ну разве что если эллипсоид -- действительно вращения, там можно считать $B=0$, а остальные выражаются через полуоси и угол, который фактически единственен.

Там у меня, кстати, опечатка. Надо, соответственно, $\left(A-\dfrac{E^2}{D}\right)$ и $\dfrac{\left(Ex+Fy\right)^2}{D}$.

[ht1515]

а так проекцию записать случайно нельзя?

$$(x^2)*(\cos(90-\alpha)) / a^2+(y^2)*(\sin(\alpha))/ b^2=1$$

-- Сб мар 27, 2010 13:00:12 --

Цитата:

Ничего не делать. Какие в исходном уравнении есть, такие и использовать.

Исходное уравнение это уравнение эллипсойда.
Оно так выглядит:

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$$

тут F,D,E коэффициенты не присутствуют же. Или я что то не понял опять?

Или вы решили это как систему

$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1; \\ d*x+e*y+f*z+g=0;\end{cases}$$

Пересечение эллипса и плоскости.
хотя тогда получиться сечение, а не проекция.

Вообщем я не понял как вы систему составили в самом 1 посте.

да и потом мне все равно угол нужно знать, например нутации. Он как исходные данные будет. То есть прийдется все равно выражать через него коэффициенты наверно.
Или угол будет фигурировать в

$$\tg(2\beta)=\dfrac{2B}{A-C}$$

Если

$$A \not = C$$

Иначе

$$\beta=\dfrac{\pi}{4}$$

Если уравнение такое

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=1; $$

то надо заменять координаты. То есть решить систему

$$\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ x=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$$

Потом поставить в общее уравнение. Угол у нас известен. И дальше определить дельту, но она больше нуля будет всегда - эллиптически тип. И потом уже найдем точку центра и нарисуем эллипс.
Так?

[ht1515]

то есть такую систему

$$\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ y=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$$

Но как тогда из

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$$

как Получить вот это?

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=1; $$

И получается что угол всегда постоянный будет если A,B,C это размеры формы эллипсойда. В чем то касяк.

[ewert]

ht1515 в сообщении #303071 писал(а):

а так проекцию записать случайно нельзя?

$$(x^2)*(\cos(90-\alpha)) / a^2+(y^2)*(\sin(\alpha))/ b^2=1$$

Так нельзя, причём неслучайно. Можно вот как.

Эллипсоид вращения описывается уравнением $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$. Отклоним его на некоторый угол относительно вертикального положения. Для определённости -- вокруг оси $OY$ (т.е. в плоскости $XOZ$). Тогда слагаемое $\dfrac{y^2}{a^2}$ сохранится, поэтому полуосью по игрекам для проекции эллипсоида на плоскость так и останется $a$.

А полуось по иксам -- это, собственно, полудлина проекции на ось $OX$ эллипса $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$, повёрнутого на тот самый угол. Т.е., фактически, расстояние $r$ от начала координат до касательной к эллипсу, наклонённой к осям этого эллипса на соответствующий угол.

Уравнение касательной к эллипсу (неповёрнутому), проходящей через точку $(x_0,y_0)$ -- это $\dfrac{x\,x_0}{a^2}+\dfrac{y\,y_0}{b^2}=1$. Перепишем его в виде $mx+ny=1$, где $(m,n)=({x_0\over a^2},{y_0\over b^2})=\dfrac{1}{r}\cdot(c,s)$ -- координаты (в плоскости $XOZ$) нормального вектора, $c,s$ -- косинус и синус угла отклонения, а $r$ -- это и есть искомое расстояние (это нормировочный множитель для приведения уравнения прямой к нормальному виду).

Поскольку точка $(x_0,y_0)$ всё же лежит на эллипсе, имеем соотношение: $a^2m^2+b^2n^2=1$. Откуда $a^2\dfrac{c^2}{r^2}+b^2\dfrac{s^2}{r^2}=1$, откуда $r=\sqrt{a^2c^2+b^2s^2$. Окончательно получаем уравнение проекции эллипсоида в виде

$${x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1,$$

где $\varphi$ -- угол отклонения оси симметрии эллипсоида от вертикального положения в направлении оси $OX$.

[ht1515]

ооо вот это уже... нормально. Это когда он вдоль ОХ меняет угол

$${x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1,$$

А если вдоль ОУ

$${x^2\over a^2}+{y^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}=1,$$

А если и там и сям отклонение будет ,то есть и с одной и с другой стороны?

Цитата:

Эллипсоид вращения описывается уравнением

Под игреком а у вас сверху в уравнении?

[ewert]

ht1515 в сообщении #303144 писал(а):

А если и там и сям отклонение будет ,то есть и с одной и с другой стороны?

А тогда этот эллипс просто развернётся по направлению той линии, к которой идёт наклон. Т.е. в окончательном уравнении надо будет просто сделать соответствующий поворот в плоскости $XOY$.

ht1515 в сообщении #303144 писал(а):

Под игреком а у вас сверху в уравнении?

Естественно, он же вращения.

[ht1515]

если честно, когда начинал тему ,не думал, что так сложно всё окажется.

Я думал уже есть готовые формулы, уже кто-то посчитал. А оказалось о как.

ewert, вы можете досчитать ещё для разных фигур, опубликовать формулы, может премию дадут даже.

Формула ewert проекции эллипсойда.
Формула ewert проекции квадрата.

Очень странно, что никто их не считал раньше.

[ewert]

ht1515 в сообщении #303164 писал(а):

Очень странно, что никто их не считал раньше.

Все считали. Но никто этих вычислений не читает без необходимости.

[ht1515]

ewert в сообщении #303170 писал(а):

ht1515 в сообщении #303164 писал(а):

Очень странно, что никто их не считал раньше.

Все считали. Но никто этих вычислений не читает без необходимости.

да, но в справочниках нет их же, значит они ни за кем не числятся. Это как Гаусс придумал геометрию , но побоялся публиковать, а Лобаческий написал. Что-то типо этого.

[ewert]

ht1515 в сообщении #303176 писал(а):

да, но в справочниках нет их же, значит они ни за кем не числятся.

В каких конкретно справочниках? Всех-всех? Вы ни одного не пропустили?

[alekcey]

еwert, Вы голову морочите человеку своей активностью, причём здесь проекция? Пусть края дырки, а не сама дырка являются пространственной линией. Почему у Вас она непременно проекция, проекция тогда чего? Именно пространственная линия и проецируется, если надо, а так, у неё самой есть уравнение, которое и определяется системой из уравнения плоскости и уравнения эллипсоида. И есть метод, который позволяет находить все три координаты этой линии… Вот и блесните своей эрудицией, покажите не уравнение проекции, а уравнение линии в пространстве, именно ответьте на первоначально поставленный вопрос…

[ewert]

alekcey в сообщении #303309 писал(а):

Пусть края дырки, а не сама дырка являются пространственной линией.

Края не могут послужить линией. Конкретнее, плиз.