x^2-y^2=z^3

[juna]

Найдите бесконечно много решений в целых числах уравнения $x^2-y^2=z^3$

[Woland]

у меня получились следующие решения:

$x=\frac{A^3+B^3}{2} $
$y=\frac{A^3-B^3}{2} $
$z=A^3B^3 $
при условии что (A,B)=1 и A,B имеют вид 2n+1

[juna]

Только $z=AB$.
Вообще, существует много различных форм.
Например, можно использовать факт, что сумма последовательно идущих кубов есть квадрат треугольного числа: $1^3+2^3+3^3+...+n^3= (n(n+1)/2)^2=(a_n)^2$, тогда $(a_{n+1})^2-(a_n)^2=(n+1)^3$.
Все решения этого уравнения даются формой
$(a(a^2+3b^2))^2-(b((3a^2+b^2))^2=(a^2-b^2)^3$

[Руст]

Насколько помнится здесь уже рассматривали решение в целых числах уравнения
$y^2-x^2=z^n.$

[juna]

Рассматривалось $x^2+y^2=z^n$. Вот это обсуждение http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=27127&highlight=#27127