Об экспоненте.

[Vadim Shlovikov]

В настоящее время слово "экспонента" имеет двоякое толкование. Одна часть источников по математике словом "экспонента" называет показательную функцию $ y= a^x $, другая часть источников по математике словом "экспонента" называет функцию $ y=e^x $. Можно ли установить, что изначально имели ввиду под словом "экспонента"?

[ShMaxG]

А в каком контексте эта часть источников называет экспонентой показательную с произвольным основанием?

А в википедии, и русской, и английской экспонента - именно $e^x$.

[Padawan]

ShMaxG в сообщении #303099 писал(а):

$\[O\left( {{3^n}} \right) = O\left( {{e^n}} \right)\]$

Это неверно, т.к. $e^n=o(3^n)$.

[ShMaxG]

Padawan
Согласен

[meduza]

Vadim Shlovikov в сообщении #303080 писал(а):

В настоящее время слово "экспонента" имеет двоякое толкование.

А какая принципиальная разница? Только масштаб по $x$ меняется (если основания по одну сторону от единицы).

[Vadim Shlovikov]

ShMaxG в сообщении #303099 писал(а):

А в каком контексте эта часть источников называет экспонентой показательную с произвольным основанием?

А в википедии, и русской, и английской экспонента - именно $e^x$.

Из Советского Энциклопедического Словаря (1988 г.) дословно пишем:
Экспонента (от лат. exponens-показывающий), то же, что (экспоненциальная) показательная функция.

-- 27 мар 2010, 16:05 --

meduza в сообщении #303109 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303080 писал(а):

В настоящее время слово "экспонента" имеет двоякое толкование.

А какая принципиальная разница? Только масштаб по $x$ меняется (если основания по одну сторону от единицы).

Поясните, пожалуйста.

[ewert]

Vadim Shlovikov в сообщении #303080 писал(а):

В настоящее время слово "экспонента" имеет двоякое толкование.

Математическая энциклопедия считает, что экспонента -- это "конкретно $e^x$, но иногда и $a^x$". Ссылаясь при этом на БСЭ.

В общем, обычно так и считают -- что если речь идёт о функции, то имеется в виду именно $e^x$. Если же используется в каком-либо лирическом эпитете, то наоборот. Скажем, "экспоненциальный рост" -- это просто показательный рост.

[meduza]

Vadim Shlovikov в сообщении #303115 писал(а):

Поясните, пожалуйста.

$a^x=e^{x\ln a}=e^{\tilde x}$

Если функции одинаковые с точностью до масштабирования, сдвига и других безобидных преобразований, то зачем их называть разными именами? К примеру, синусоидой называют и $\sin x$, и $\sin \omega x$ и даже $\cos x$.

[Vadim Shlovikov]

ewert в сообщении #303119 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303080 писал(а):

В настоящее время слово "экспонента" имеет двоякое толкование.

Математическая энциклопедия считает, что экспонента -- это "конкретно $e^x$, но иногда и $a^x$". Ссылаясь при этом на БСЭ.

В общем, обычно так и считают -- что если речь идёт о функции, то имеется в виду именно $e^x$. Если же используется в каком-либо лирическом эпитете, то наоборот. Скажем, "экспоненциальный рост" -- это просто показательный рост.

Исчерпывающе, но всё-таки нельзя $ e^x=a^x $.
Из выше изложенного, подкреплённого большинством голосов, следует, что экспонента-это $ y=e^x $.
Другое трактование слова "экспонента" считается ошибочным.

[ewert]

Vadim Shlovikov в сообщении #303126 писал(а):

Другое трактование слова "экспонента" считается ошибочным.

Немедленно расстреляют, да? А кто конкретно?

[PAV]

Vadim Shlovikov в сообщении #303126 писал(а):

Другое трактование слова "экспонента" считается ошибочным.

Это Ваше личное мнение и практически ничего больше.

[Vadim Shlovikov]

meduza в сообщении #303123 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303115 писал(а):

Поясните, пожалуйста.

$a^x=e^{x\ln a}=e^{\tilde x}$

Если функции одинаковые с точностью до масштабирования, сдвига и других безобидных преобразований, то зачем их называть разными именами? К примеру, синусоидой называют и $\sin x$, и $\sin \omega x$ и даже $\cos x$.

По этому поводу, экспонентой считается конкретно $ y=e^{ x lna} $, а не $ y=a^x $, так как показательная функция$ y=a^x $ и функция $ y=e^{ x lna }$ имеют разные графики, равные при $ a=e $.
О синусоиде-её график получается из рассмотрения функции $ y= \sin \alpha $, остальное-возможно сходство рисунков графиков функций.

-- 27 мар 2010, 17:23 --

ewert в сообщении #303136 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303126 писал(а):

Другое трактование слова "экспонента" считается ошибочным.

Немедленно расстреляют, да? А кто конкретно?

О таких мерах речи быть не может-это простое незнание. Правильно-это показать, где человек ошибается.

-- 27 мар 2010, 17:25 --

PAV в сообщении #303139 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303126 писал(а):

Другое трактование слова "экспонента" считается ошибочным.

Это Ваше личное мнение и практически ничего больше.

Да, но с нашей точки зрения-это правильное мнение.

[ewert]

meduza в сообщении #303123 писал(а):

Если функции одинаковые с точностью до масштабирования, сдвига и других безобидных преобразований, то зачем их называть разными именами? К примеру, синусоидой называют и $\sin x$, и $\sin \omega x$ и даже $\cos x$.

Это правда, но синус косинусом всё-таки не называют, как и наоборот. "Синусоида" -- это групповае имя для вышеперечисленных функций. Так же как и "показательная функция" -- это групповое имя. А экспонента -- некоторая его конкретизация. Другого-то термина нет. Не произносить же, в самом деле, что-нибудь типа "пусть правая часть уравнения представляет собой показательную функцию с основанием, равным основанию натуральных логарифмов". Так что правила приличия всё-таки требуют понимать под экспонентой именно $e^x$. Требуют, но не настойчиво.

[meduza]

Vadim Shlovikov в сообщении #303146 писал(а):

показательная функция$ y=a^x $ и функция $ y=e^{ x lna }$ имеют разные графики[/math].

Одинаковые, ибо это одна и та же функция.

[Vadim Shlovikov]

ewert в сообщении #303161 писал(а):

meduza в сообщении #303123 писал(а):

Если функции одинаковые с точностью до масштабирования, сдвига и других безобидных преобразований, то зачем их называть разными именами? К примеру, синусоидой называют и $\sin x$, и $\sin \omega x$ и даже $\cos x$.

Это правда, но синус косинусом всё-таки не называют, как и наоборот. "Синусоида" -- это групповае имя для вышеперечисленных функций. Так же как и "показательная функция" -- это групповое имя. А экспонента -- некоторая его конкретизация. Другого-то термина нет. Не произносить же, в самом деле, что-нибудь типа "пусть правая часть уравнения представляет собой показательную функцию с основанием, равным основанию натуральных логарифмов". Так что правила приличия всё-таки требуют понимать под экспонентой именно $e^x$. Требуют, но не настойчиво.

Как насчёт, график функции $ y= \sin \alpha $ называть синусоидой, а график функции $ y= \sin ( \omega \alpha ) $ называть преобразованием синусоиды? График же функции $ y= \cos \alpha $ называть косинусоида?

-- 27 мар 2010, 18:11 --

meduza в сообщении #303167 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #303146 писал(а):

показательная функция$ y=a^x $ и функция $ y=e^{ x lna }$ имеют разные графики[/math].

Одинаковые, ибо это одна и та же функция.

Да, $ y= a^x=e^{ xlna } $, а следовательно графики $ y=a^x $ и $ y=e^{ xlna} $ равны, но $a^x \ne e^x$, если $ a \ne e $, отсюда следует, что экспонента либо показательная функция $ y=a^x $, либо её частная функция $ y=e^x $.