2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 C6: уравнение в натуральных числах n!+5n+13=k^2
Сообщение27.03.2010, 14:05 
Решите в натуральных числах уравнение $n!+5n+13=k^2$, где $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 14:18 
Аватара пользователя
Рассмотрите остатки от деления на 5.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 14:22 
Вы не могли бы рассказать немного по подробнее? Почему на 5? И как рассматривать?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 14:32 
Аватара пользователя
Потому что $5n$ и $n!$ при $n\geqslant 5$ делятся на 5.

Распишите остатки левой и правой части. И отдельно перебрать $n=1,2,3,4$.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 14:59 
А как на решение влияет тот факт, что $n!$ и $5n$ при $n\geqslant5$ делятся на 5?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:08 
f_student в сообщении #303088 писал(а):
Почему на 5? И как рассматривать?

Потому, что у квадратов не так много остатков от деления на пять:

$(5m)^2=25m^2$;

$(5m\pm1)^2=25m^2\pm10m+1$;

$(5m\pm2)^2=25m^2\pm20m+4$.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:43 
Наверное, я задаю очень глупые вопросы, но, Ewert, скажите, что это вы сейчас мне показали? Я из всего вышесказанного ничего не понимаю...

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:45 
Аватара пользователя
Это доказательство того, что остатками от деления $k^2$ на 5 могут быть только 0, 1 и 4

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:47 
А зачем это?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:50 
Аватара пользователя
А зачем в правой части уравнения $k^2$?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 15:52 
f_student в сообщении #303130 писал(а):
А зачем это?

Xaositect в сообщении #303093 писал(а):
Распишите остатки левой и правой части.

Для начала при $n\geqslant5$.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 16:00 
получается при делении на 5 левая часть дает остатки 0,1,2,3,4 а правая 0,1,4. А что из этого следует?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 16:21 
Аватара пользователя
f_student в сообщении #303138 писал(а):
получается при делении на 5 левая часть дает остатки 0,1,2,3,4

Вы уверены что это так? При $n\geqslant 5$?

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 16:29 
нет, наверное, левая часть дает только остаток 3.

 
 
 
 Re: с6
Сообщение27.03.2010, 16:32 
Аватара пользователя
f_student в сообщении #303156 писал(а):
нет, наверное, левая часть дает только остаток 3.

Именно! И что из этого следует?

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group