C6: уравнение в натуральных числах n!+5n+13=k^2

[f_student]

Решите в натуральных числах уравнение $n!+5n+13=k^2$, где $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

[Xaositect]

Рассмотрите остатки от деления на 5.

[f_student]

Вы не могли бы рассказать немного по подробнее? Почему на 5? И как рассматривать?

[Xaositect]

Потому что $5n$ и $n!$ при $n\geqslant 5$ делятся на 5.

Распишите остатки левой и правой части. И отдельно перебрать $n=1,2,3,4$.

[f_student]

А как на решение влияет тот факт, что $n!$ и $5n$ при $n\geqslant5$ делятся на 5?

[ewert]

f_student в сообщении #303088 писал(а):

Почему на 5? И как рассматривать?

Потому, что у квадратов не так много остатков от деления на пять:

$(5m)^2=25m^2$;

$(5m\pm1)^2=25m^2\pm10m+1$;

$(5m\pm2)^2=25m^2\pm20m+4$.

[f_student]

Наверное, я задаю очень глупые вопросы, но, Ewert, скажите, что это вы сейчас мне показали? Я из всего вышесказанного ничего не понимаю...

[Xaositect]

Это доказательство того, что остатками от деления $k^2$ на 5 могут быть только 0, 1 и 4

[f_student]

А зачем это?

[Хорхе]

А зачем в правой части уравнения $k^2$?

[ewert]

f_student в сообщении #303130 писал(а):

А зачем это?

Xaositect в сообщении #303093 писал(а):

Распишите остатки левой и правой части.

Для начала при $n\geqslant5$.

[f_student]

получается при делении на 5 левая часть дает остатки 0,1,2,3,4 а правая 0,1,4. А что из этого следует?

[Xaositect]

f_student в сообщении #303138 писал(а):

получается при делении на 5 левая часть дает остатки 0,1,2,3,4

Вы уверены что это так? При $n\geqslant 5$?

[f_student]

нет, наверное, левая часть дает только остаток 3.

[Xaositect]

f_student в сообщении #303156 писал(а):

нет, наверное, левая часть дает только остаток 3.

Именно! И что из этого следует?