Решение интеграла

[cherep36]

Есть интеграл $\int sin6x*cos2xdx$ каким способом его можно решить?
Если бы аргументы функций были бы одинаковые, то можно было бы домножить и поделить и представить как
$u^n*u^'$ но как быть в данной ситуации не знаю. Пните в нужную сторону.

[ShMaxG]

Примените формулу произведения синуса на косинус - это сумма синусов с какими-то аргументами.

-- Пт мар 26, 2010 21:19:16 --

А если аргументы были бы одинаковыми, то стоило бы превратить произведение в синус двойного угла.

[cK^]

(Оффтоп)

Нельзя решить интеграл!

[cherep36]

Получается ещё круче $\int \frac{sin8x+sin4x} {2} $, и каким образом с этим разобраться?

[ShMaxG]

А то, что интеграл суммы равен сумме интегралов вам известно?

[cherep36]

Да, тогда будет вот так $\int \frac {sin8x} {2}+ \frac {sin4x} {2}$, но я не могу это выражение представить как $u^n * n^'$.

[ShMaxG]

А зачем его так представлять? Как получаете сумму интегралов, по табличной формуле мгновенно пишете ответ.

[cherep36]

То есть будет $ - \frac{cos8x} {2} - \frac { cos4x} { 2}$, только я не пойму что делать с знаменателем, в таблице нету подобных интегралов, или я не вижу их в 3х таблицах сразу

[ShMaxG]

Под табличным интегралом я имел ввиду интеграл от синуса.
$ \[\int {\sin ax} \, dx = \frac{{ - \cos ax}} {a}\] \,+\, $C$ $.

А со знаменателем что? Он же (если от икса не зависит) выносится за интеграл совершенно безболезненно. Ровно как и интеграл суммы безболезненно раскладывается на сумму интегралов. Или вы что-то другое имеете ввиду?

А еще, кстати, в ответе не забывайте константу дописывать.

[cherep36]

Теперь всё встало на свои места, $ - \frac {cos8x} {16} - \frac {cos4x} {8} + C $. Но вот ни в одной таблице я не встретил интеграла $\int sin ax dx = \frac {-cosax} {a}$, где можно найти такую же граммотную табличку как и у вас?

[ShMaxG]

Под косинусом от $4x$ будет 8, а не 4.

А я только помню, что интеграл синуса это минус косинус. А эта формула - чисто здравый смысл. Понять например можно это так:
$ \[\int {\sin ax}\, dx = \int {\frac{{\sin ax}} {a}\,d\left( {ax} \right)} = \frac{1} {a}\int {\sin t}\, dt\]$, где $t=ax$. И далее: $\[\frac{1} {a}\int {\sin t}\, dt = - \frac{1} {a}\cos t + C = - \frac{1} {a}\cos ax + C\] $

Но такие вещи надо делать очень быстро в уме.

[gris]

В "Таблицах неопределённых интегралов" М.Л Смолянского
№ 29.1
Только там не $\alpha$, а $p$, и без константы.
$\int \sin px \,dx=-\dfrac1p\cos px$

[ewert]

cherep36 в сообщении #302875 писал(а):

Но вот ни в одной таблице я не встретил интеграла

любопытно: а есть ли хоть в одной таблице интеграл типа $\int ax^2\,dx$?...

Какой-то странный интеграл... Сейчас все таблицы перерою -- авось отыщется...

[gris]

Ув. ewert!
Интересующий Вас интеграл приведён в справочнике Корн на стр.118 (пункт 4.6-13) как частный случай интеграла от многочлена. Обнулив коэффициенты при степенях не равным 2, Вы можете получить искомое.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #302909 писал(а):

Ув. ewert!
Интересующий Вас интеграл приведён в справочнике Корн на стр.118 (пункт 4.6-13)

Я посмотрел, честно посмотрел... Я даже скачал для этого Корнов (ибо не помню, на какой полке он у меня стоит).

Но так и не понял, как его брать. Там, даже если обнулить все остальные коэффициенты, останется $\int a_{n-2}x^2\,dx$. Совсем другой интеграл!