Проверьте интеграл пожалуйста

[Niclax]

Дан интеграл: $\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{c^2}} e^{jt(w_0-w)} dt$, все, кроме t - константы, j - мнимая единица

$\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{c^2}} e^{jt(w_0-w)} dt=A\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{c^2}+jt(w_0-w)}dt$
Сделаем замены: $a=-\frac{1}{c^2}, b=j(w_0-w), \tau=t+\frac{b}{2a},k=\frac{b^2}{4a}$

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{a\tau^2-k}d\tau=\frac{e^{-k}}{\sqrt{a}}\int\limits_{0}^{\infty} e^{(\sqrt{a}\tau)^2}d(\sqrt{a}\tau)=\frac{e^{-k}}{\sqrt{a}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
Таким образом,

$\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{c^2}} e^{jt(w_0-w)} dt=\frac{A\sqrt{\pi}}{2}\frac{e^{-k}}{\sqrt{a}}=\frac{A\sqrt{\pi}}{2}e^{-\frac{b^2}{4a}}{\sqrt{-c^2}}=\frac{A\sqrt{\pi}}{2}e^{-\frac{c^2}{4}(w-w_0)^2}cj$

[Полосин]

Вы забыли изменить нижний предел интегрирования. Интеграл в элементарных функциях не берется, выражается через интеграл вероятности.

[Niclax]

Так?

$\int\limits_{\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{a\tau^2-k}d\tau=\frac{e^{-k}}{\sqrt{a}}\int\limits_{\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{(\sqrt{a}\tau)^2}d(\sqrt{a}\tau)=\frac{e^{-k}}{\sqrt{a}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$

$\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{c^2}} e^{jt(w_0-w)} dt=\frac{Ae^{-k}}{\sqrt{a}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)=Ae^{-\frac{b^2}{4a}}{\sqrt{-c^2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)=Ae^{-\frac{c^2}{4}(w-w_0)^2}cj\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$

[Полосин]

Константы $c, w_0-w$ - действительные? Если да, то чему равно $\sqrt a$? Аккуратно разделите действительную и мнимую части.

[Niclax]

Ошибочка вышла. Скажите, такой интеграл берется?
$\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{\tau_0^2}} e^{-j\omega t}cos(\omega_0 t+\phi_0) dt$
Все константы, кроме j, вещественные.

[ИСН]

Это чем-то отличается от предыдущего, если косинус представить как это самое?

[Niclax]

Берется - это я наверно не совсем корректно сказал. Я имел ввиду, можно ли его представить в виде элементарной функции от констант, в нём участвующих. Например, вот такой интеграл можно:
$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax^2}cos(bx) dx$
А мой сильно на него смахивает.

[Полосин]

"- А подполковнику Васину из штаба фронта вы, случаем, эта... не родственник?
- Нет, - проговорил лейтенант и слегка покраснел.
- А крепко на него машете! Я так подумал: может, он вам брат или, значит, дядя! Он ведь тоже - Сергеевич! Отличный мужик!.. А голова, знаете, прямо как у генерала! Мы с ним в Смоленске не раз сиживали, - похвастал Алехин, выразительно щелкнув себя пальцем по шее."

Дело в том, что последний интеграл можно представить как половину интеграла по всей прямой, а ваш - нельзя, поэтому без интеграла вероятности никак не обойтись.

[Niclax]

$I=\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{\tau_0^2}-j\omega t}cos(\omega_0 t+\phi_0) dt$

$cos(\omega_0 t+\phi_0)=\frac{e^{(\omega_0 t+\phi_0)j}+e^{-(\omega_0 t+\phi_0)j}}{2}$

$I=\frac{1}{2}(I_1+I_2)$, где $I_1=\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{\tau_0^2}+(\omega_0-\omega) j t}e^{\phi_0j}dt, I_2=\int\limits_{0}^{\infty} A e^{-\frac{t^2}{\tau_0^2}-(\omega_0+\omega) j t}e^{-\phi_0j}dt$
Вычислим интеграл:

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-at^2+bt}dt$

Сделаем замены: $\tau=t-\frac{b}{2a},k=\frac{b^2}{4a}$. Тогда:

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-at^2+bt}dt=e^k\int\limits_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-a\tau^2}d\tau=\frac{e^k}{\sqrt{a}}\int\limits_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-(\sqrt{a}\tau)^2}d(\sqrt{a}\tau)=\frac{e^k}{\sqrt{a}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(-\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$

$I_1:$ $a=\frac{1}{\tau_0^2},b=(\omega_0-\omega) j\Rightarrow k=-\frac{(\omega_0-\omega)^2 \tau_0^2}{4}, \frac{b}{2\sqrt{a}}=\frac{(\omega_0-\omega) j\tau_0}{2}$


$I_1=Ae^{j\phi_0}exp\left(-\frac{(\omega_0-\omega)^2 \tau_0^2}{4}\right)\tau_0\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(-\frac{(\omega_0-\omega) j\tau_0}{2}\right)$

$I_2:$ $a=\frac{1}{\tau_0^2},b=-(\omega_0+\omega) j\Rightarrow k=-\frac{(\omega_0+\omega)^2 \tau_0^2}{4}, \frac{b}{2\sqrt{a}}=-\frac{(\omega_0+\omega) j\tau_0}{2}$

$I_2=Ae^{-j\phi_0}exp\left(-\frac{(\omega_0+\omega)^2 \tau_0^2}{4}\right)\tau_0\frac{\sqrt{\pi}}{2}Erf\left(\frac{(\omega_0+\omega) j\tau_0}{2}\right)$

$I=\frac{1}{2}A\tau_0\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( e^{j\phi_0}exp\left(-\frac{(\omega_0-\omega)^2 \tau_0^2}{4}\right)Erf\left(-\frac{(\omega_0-\omega) j\tau_0}{2}\right)+e^{-j\phi_0}exp\left(-\frac{(\omega_0+\omega)^2 \tau_0^2}{4}\right)Erf\left(\frac{(\omega_0+\omega) j\tau_0}{2}\right)\right)$


???