Сходимость последовательности операторов.

[G_Ray]

Подскажите пожалуйста.
Есть оператор: $A:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$,
$Ax(t)=\int\limits_0^t e^{\tau} x(\tau)d\tau$
и последовательность операторов $A_n:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$
$A_nx(t)=\int\limits_0^t [\sum\limits_ {k=0}^n \dfrac{\tau^k}{k!}]x(\tau)d\tau$

Сходится ли $A_n$ к $A$. Каков характер сходимости?

[ewert]

G_Ray в сообщении #301474 писал(а):

Каков характер сходимости?

Самый сильный -- по операторной норме. Ибо последовательность частичных сумм ряда Тейлора для экспоненты сходится к самой экспоненте равномерно на любом конкретном конечном промежутке (не важно каком).

[G_Ray]

Вот у меня такие же мысли были. Смущало только что сумма конечная. Вроде как бы очевидно. Спасибо.

И еще маленький вопросик.
Пусть есть $X,Y$ линейные, нормированные пр-ва, $x_n,x \in X, x_n\rightarrow x, A_n,A\in\mathfrak{L}(X,Y)A_n\rightarrow A$ при $n\rightarrow\infty$. Доказать, что $A_nx_n\rightarrow Ax$ при $n\rightarrow\infty$.

Кажется очевидным. Операторы линейные, непрерывные. Сходящиеся последовательности в сходящиеся значит перейдут. Значит оператор $$A_n$ не "испортит" $x_n$. А дальше как? Или даже начало не правильное?

[Padawan]

Оцените $\|A_nx_n-Ax\|\leqslant\ldots$

[ewert]

G_Ray в сообщении #301521 писал(а):

Кажется очевидным.

Нет, не очевидно. В таких случаях и подвохи бывают. Хотя тут (если я правильно понял условие) их и нет.

Распишите разность $A_nx_n-A\,x$ как $A_n(x_n-x)+A_nx-Ax=A_n(x_n-x)+(A_n-A)x$ и воспользуйтесь сходимостью по норме обеих последовательностей, а также тем, что из сходимости последовательности по норме следует и её ограниченность.

(Это я исходил из того, что сходимость операторов подразумевалась именно по норме.)

[G_Ray]

$\|A_nx_n-Ax\|\leqslant \|A_nx_n-A_nx+A_nx-Ax\|\leqslant\|A_n(x_n-x)\|-\|A_nx-Ax\|$
Отсюда можно уже сказать о сходимости ( ну если дальше продолжить логически)?

-- Ср мар 24, 2010 00:02:33 --

Пока я писал, ewert, уже все расписал.
Значит в правильную сторону думал.
Еще раз спасибо всем.

-- Ср мар 24, 2010 00:12:02 --

Цитата:

Нет, не очевидно. В таких случаях и подвохи бывают. Хотя тут (если я правильно понял условие) их и нет.

А можно поинтересоваться, какие именно подвохи?

[G_Ray]

$\|A_nx_n-Ax\|\leqslant \|A_nx_n-A_nx+A_nx-Ax\|\leqslant\|A_n(x_n-x)\|-\|A_nx-Ax\|\leqslant\|A_n\|\|x_n-x\|+\|A_n-A\|\|x\|$
Здесь в первом слагаемом если нормы $\|A_n\|$ были бы не ограничены, то ничего бы не получилось? Подвохи типа таких, да?

Есть еще задача. Тут сбивает с толку, что за шар и с чем его едят:)
Пусть есть $X,Y$ линейные, нормированные пр-ва, $A_n\in\mathfrak{L}(X,Y)$ и последовательность $A_nx$ сходится по норме на шаре $\overline{S}_1(0)\subset X$. Доказать, что существует такой оператор$A\in\mathfrak{L}(X,Y)$, что $A_n\rightarrow A$ при $n\rightarrow\infty$.

[G_Ray]

И еще один вопросик (не в тему, но возник в это же время).
Как можно доказать, что $\mathbb{R}^{n*} = \mathbb{R}^n$? Или где посмотреть доказательство?

[ewert]

Потому что оно евклидово.

(И, кстати: строго говоря -- не равно, а изоморфно.)

[Полосин]

Докажите сами, это нетрудно. Задайте базис, запишите общий вид линейного функционала и т.д.