Геометрия- задача о трапеции

[Natasha]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить ужаснейшую задачу.
Дана трапеция с ребрами 3 и 4 см, отрезок, соединяющий середины оснований равен средней линии. Найти площадь трапеции.
Как я только не пробовала её решать, но ничего путного не вышло. Надеюсь что у вас получится.

[gris]

у нас получилось.

[Natasha]

о_О так быстро?????
и как же?? расскажите....

[gris]

чтобы меня клювом по башке тукнули?
Начните Вы. В смысле решать. соедините середины сторон. чтополучится?

[Natasha]

ну я решала..пробовала рассматривать прямоугольник в котором этот отрезок и средняя линия трапеции являются диагоналями (равны по условию, поэтому и прямоугольник)....дальше ничего не получилось
пробовала еще стороны продлить и достроить до треугольника, ну там вобще тёмный лес(((
поэтому и прошу подсказать, хотя бы на истинный путь поставить

[Батороев]

Не понятно, что Вы называете "ребрами трапеции"?

Если предположить, что это основания трапеции, то на мой взгляд, задача некорректная (хотя, могу и ошибаться, т.к. нынче голова забита многими другими делами).

Допустим, имеем четыре стержня одинаковой длины по концам шарнирно соединенных в квадрат. Середины противоположных стержней также шарнирно попарно соединены двумя такими же стержнями. Эти внутренние стержни также соединены в центральной точке шарниром.
Получили "параллелограмное устройство", которое можно складывать и раздвигать. При этом в любом положении имеется возможность укоротить один из наружных стержней симметрично его середины и нарастить на ту же величину длину противоположного стержня, получая трапецию, удовлетворяющую условию задачи.
Имеющее при этом место изменение длины боковых стержней роли не играет. Главное, что их длина изменяется также симметрично относительно середины.

[vvvv]

Интересно. Попробуйте нарисовать две разных
трапеции с заданными условиями задачи

[gris]

Что ещё не решили?
Ну вот же, а я и забыл уже.
Я так полагаю, что рёбра это бёдра, то есть боковые стороны.
Пусть верхнее основание у нас равно 0. Трапеция вырождается в треугольник. Линия, соединяющая середины оснований в медиану. А когда медиана равна средней линии, которую она пересекает? И чему равна площадь такого треугольника?
Это подсказка.
А удовлетворяющих трапеций можно много состряпать. Хоть и ЦиЛом.

[Батороев]

vvvv в сообщении #302149 писал(а):

Интересно. Попробуйте нарисовать две разных
трапеции с заданными условиями задачи

Квадрат на левом рисунке трансформируется в ромб на правом рисунке.
Средние линии равны между собой ($3,5$ см), а также равны на обоих рисунках.

Затем уменьшаем длину верхнего основания ($3, 5- 2\cdot 0, 25=3$ см) и увеличиваем длину нижнего симметрично их середин ($3, 5+2\cdot 0, 25=4 $ см).

Аналогично, если под "ребрами" понимаются боковые стороны.

[Natasha]

Я рисовала так трапецию, но это неверно, потому что тут получается что средняя линия и отрезок соединяющий середины оснований перпендикулярны....а это не дано по условию...поэтому утверждать таким образом о вычислении площади нельзя.
Проблема в том, что я никак не могу связать решение задачи с боковыми сторонами...если даны диагонали или основания задача решается хорошо, а вот тут не выходит(((

[Батороев]

Поправка к предыдущему своему сообщению:
Если под "ребрами" подразумеваются боковые стороны трапеции, то рассмотрение некорректности задачи приобретает другой характер.
Тогда необходимо рассмотреть множество треугольников с боковыми сторонами, равными $3$ и $4$ см.
С изменением третьей стороны (основания) будет изменяться длина средних линий. Она равна медиане указанных треугольников.
Затем элементы рассмотренных треугольников переносятся на построение трапеции.

Natasha, Вы нам поясните, что подразумеваете под словом "ребра". Ребра обычно бывают у объемных фигур.

-- Чт мар 25, 2010 23:31:56 --

Из сообщения Natasha понял, что "ребра" - это все же боковые стороны трапеции.

[Natasha]

Я дико извиняюсь, действительно некорректно выразилась. Под "ребрами" я подразумевала боковые стороны.

[vvvv]

Батороев, Вы хотите сказать, что если на верхнем и нежнем основании, вами нарисованных трапеций, установить шарниры. то такие конструкции будут подвижны?

[Батороев]

Этот вариант был для "ребра=основания".
Шарниры имеет квадратная рамка. Но если не понятно, давайте отвлечемся от "техники".

Суть рассмотрения в том, что существует множество различных ромбов со стороной $3,5$ см, отличающихся друг от друга углом при одной из вершин.
В любом из указанных ромбов одну из сторон можно уменьшить симметрично ее середины до $3$ см. При этом противоположная сторона (при условии сохранения длины средних линий) увеличится также симметрично своей середины до $4$ см.
Таким образом, каждому ромбу будет соответствовать своя трапеция, удовлетворяющая условию задачи (при варианте "ребра = основания"). Эти трапеции имеют разные площади.

[gris]

Пусть верхнее основание равно 0. Тогда боковые рёбра перпендикулярны. Средняя линия равна медиане. Площадь трапеции, выродившейся в треугольник, равна $\dfrac12\cdot3\cdot4=6$.

Пусть теперь боковая сторона, равная 3, перпендикулярна основанию. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен медиане прямоугольного треугольника с гипотенузой 4, катетом 3, проведённой к другому катету, который равен $\sqrt7$. Эта медиана равна $\sqrt{\dfrac{2\cdot3^2+2\cdot4^2-(\sqrt7)^2}4}=\sqrt{\dfrac{43}4}$. Это равно по условию средней линии, а высота трапеции равна боковой стороне 3. Итак, площадь равна $3\cdot\sqrt{\dfrac{43}4}=\sqrt{\dfrac{387}4}\neq 6$

Один ВШ поддерживает мой способ частных случаев.