Вроде простое, но я над нам сильно зациклился
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
.
нужно доказать; что для положительных чисел
![$a_{j}$ $a_{j}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/5/b2585b5c81c97deeac55c46eb718b02382.png)
выполняется неравенство.
![$$
\exp\left( \left( \prod_{j=1}^{n} a_{j} \right)^{1/n} \right)-1 \leq \left( \prod_{j=1}^{n} \left(\exp(a_{j}) -1 \right) \right)^{1/n}
$$ $$
\exp\left( \left( \prod_{j=1}^{n} a_{j} \right)^{1/n} \right)-1 \leq \left( \prod_{j=1}^{n} \left(\exp(a_{j}) -1 \right) \right)^{1/n}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9dcfea60cb17cb39ee90d00062288482.png)
раскладывая все в ряды да действительно можно увидеть истину в этом неравенстве, но не хочется этого делать..
Есть ли у этого неравенство простое решение ?
коментарии: для выпуклой функции
![$f:[0,\infty) \to [0, \infty) $ $f:[0,\infty) \to [0, \infty) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeb1a6303c6a0bd43c8f0165dc615d8482.png)
с
![$f(0)=0$ $f(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/6/e268b9e5eb7e92d106747c1223c703c782.png)
вообще говоря не всегда выполняется неравенство
![$f(a_{1})...f(a_{n}) \geq (f( (a_{1}...a_{n})^{1/n} ) )^{n}$ $f(a_{1})...f(a_{n}) \geq (f( (a_{1}...a_{n})^{1/n} ) )^{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/9/d4953cc146de28e9aab448bbb64ade5182.png)
этим свойством обладают финцкии
![$\{ Cx^{k} \}$ $\{ Cx^{k} \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/9/4894b47bf36cb788544ea112767e44ef82.png)
при положительных
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
и как увидите
![$\exp(x)-1$ $\exp(x)-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/c/51c37865b31af63bb3340d484f994f0882.png)
т.е. в каком-то смысле (не в обычном) функции
![$Cx^{k}$ $Cx^{k}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/0/c901d2253ad83cff9763be2837739c3282.png)
приближают
![$\exp(x)-1$ $\exp(x)-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/c/51c37865b31af63bb3340d484f994f0882.png)
таким образом что это неравенство сохраняется.