Дисперсия в пять раз больше математического ожидания...

[oleg-spbu]

В чем подвох, ведь быть такого не может!

Закон распределения случайной величины имеет вид

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -2 & -1 & 0 & 2 & 4\\ \hline p_i & 0,2 & 0,1 & 0,2 & p_4 & p_5\\ \hline \end{tabular}$

Найти $p_4$ и $p_5$ и $D(X)$, если
$M(X)=-0,5+0,5\cdot 2+0,1\cdot 2=0,7$

$M(X)=\sum\limits_{i=1}^5{p_ix_i}=-2\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,1+ 0\cdot 0,2 +2\cdot p_4+4\cdot p_5=0,7$

$\sum\limits_{i=1}^5{p_i}=1=0,2 + 0,1 + 0,2 + p_4 + p_5$

=> $\begin{cases} p_4 + p_5=0,5\\ 2\cdot p_4+4\cdot p_5=1,2\\ \end{cases}$

$\begin{cases} p_4 + p_5=0,5\\ p_4+2p_5=0,6\\ \end{cases}$

Вычитая из второго уравнения первое найдем

$p_5=0,1$

=> $p_4=0,4$

$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)=0,2\cdot 4+ 0,1+ 0+0,4\cdot 4+0,1\cdot 16-0,49=0,9+1,6+1,6-0,49=3,61$$

[Xaositect]

oleg-spbu в сообщении #302065 писал(а):

В чем подвох, ведь быть такого не может!

Почему не может?

[oleg-spbu]

По смыслу - если такой разброс (дисперсия)- то о каком среднем значении (математическом ожидании) может идти речь?)

[Руст]

oleg-spbu в сообщении #302069 писал(а):

По смыслу - если такой разброс (дисперсия)- то о каком среднем значении (математическом ожидании) может идти речь?)

Если мат. ожидание 0, то дисперсия в бесконечно раз больше мат. ожидания.
Если величина всегда положительная, то ещё можно ждать ограничения относительно отношения математического ожидания к среднеквадратичному отклонению.

[Alexey1]

Посмотрите на примере. Рассмотрим с.в. $X$, такую что$p(X=1)=\frac{1}{2}$ и $p(X=k)=\frac{1}{2}$. Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно $M(X)=\frac{k+1}{2}$, $D(X)=\frac{(k-1)^2}{4}$. Их отношение равно $\frac{D(X)}{M(X)}=\frac{(k-1)^2}{2(k+1)} \rightarrow \infty, k\rightarrow \infty$.

[Руст]

У вас отношение дисперсии (растущей квадратично от k, при линейном росте мат. ожидания), поэтому лучше сравнивать среднеквадратичное отклонение с мат. ожиданием.

[Alexey1]

Руст в сообщении #302079 писал(а):

У вас отношение дисперсии (растущей квадратично от k, при линейном росте мат. ожидания), поэтому лучше сравнивать среднеквадратичное отклонение с мат. ожиданием.

Так ведь вопрос был о сравнении дисперсии с математическим ожиданием.

[Профессор Снэйп]

Станная какоя-то проблема.

Рассмотрим пример, когда случайная величина принимает значение $1000$ с вероятностью $1/2$ и $-1000$ с вероятностью $1/2$. Типа подкидываем монетку и если она упала орлом, то пишем на бумажке $1000$, а если решкой, то пишем $-1000$.

Матожидание, очевидно, $0$. А дисперсия равна $1000000$. То есть дисперсия в $1000000/0 = \infty$ раз больше матожидания. Какой ужас!!!

[gris]

Профессор Снэйп, но самое ужасное это то, что сколько бы мы не бросали монетку, мы не приблизимся к матожиданию ближе, чем на 1000!!! Какое же это матожидание, если его невозможно дождаться?

[AD]

Почему же? Нужно просто сначала подбросить монетку орлом, потом решкой.
Правда, не факт, что получится ...

Но никто и не обещал - обещали лишь сходимость по Чезаро, да и то не всегда, а только почти всегда.

[oleg-spbu]

Спасибо, все понял)

[12d3]

Alexey1 в сообщении #302080 писал(а):

Так ведь вопрос был о сравнении дисперсии с математическим ожиданием.

Их вообще нельзя прямо так сравнивать. Если, например, мы измеряем некоторую величину в метрах, то матожидание будет в метрах, а дисперсия - в метрах квадратных. Тогда уж надо сравнивать матожидание с корнем из дисперсии, то бишь среднеквадратичным отклонением.

[Kuzya]

(Оффтоп)

и откуда такое желание всё сравнивать?
У меня машина круче - а у меня жена красивее - а у меня ююю длиннее - и тд и тп