система уравнений

[infantier]

Дана система уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} P(a_1,a_2,...,a_n)=0 \\ P(a_2,a_3,...,a_{n+1})=0 \\ P(a_3,a_4,...,a_{n+2})=0 \\ ......................\\ P(a_{k+1},a_{k+2},...,a_{k+n})=0 \\ \end{array} \right. $$

$$P(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb{C}[a_1,a_2,...,a_{n}]$$

$$P(a_1,a_2,...,a_n)- \mbox{произвольный нетождественный многочлен}.$$

Доказать, что данная система уравнений имеет решение
в поле комплексных чисел.

[paha]

а в чем прикол?-)

для любого набора $z_1,\ldots,z_{n-1}$ найдется $z_n\in {\mathbb C}$, что
$P(z_1,\ldots,z_n)=0$,
для любого набора $z_2,\ldots,z_{n}$ найдется $z_{n+1}\in {\mathbb C}$, что
$P(z_2,\ldots,z_{n+1})=0$ и т.д.

[RIP]

paha в сообщении #302055 писал(а):

для любого набора $z_1,\ldots,z_{n-1}$ найдется $z_n\in {\mathbb C}$, что
$P(z_1,\ldots,z_n)=0$,

Ну, не совсем для любого (например, $P(z_1,z_2)=z_1z_2+1$, $z_1=0$). Но почти для любого, да (если многочлен зависит от $z_n$). В этом и прикол.

[paha]

Да... верно, однако
немножко повозиться надо
индукцией по $k$