Классическая теория вероятностей.

[integral2009]

Есть несколько задач, по которым есть вопросы. некоторые решuл, но не знаю - правильно лu. (очень неуверен в них).

1) В коробке находятся 4 сuнuх, 5 краcных и 5 зeленых карандaшей. Одноврeменно вынuмают 10 карaндашей. Найти верoятность того, что срeдu них будет 3 сuнuх и 3 крaсных.

Всего 14 карандашeй. Так как вынuмают 10 карандашeй и нужно найти вероятность того, что три из них - синие и три - красные, то оставшиеся 4 - зелeные.

Число способов, которыми можно из четырех синих выбрать три $C_4^3=\dfrac{4!}{3!(4-3)!}=\dfrac{24}{6}=4$
Число способов, которыми можно из пяти красных выбрать три $C_5^3=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{120}{6\cdot2}=10$
Число способов, которыми можно из пяти зеленых выбрать четыре $C_5^4=\dfrac{5!}{4!(5-4)!}=\dfrac{120}{24}=5$

Число способов, которыми можно вынуть желанные 10 карандашей (3 синих, 30 красных, 4 зеленых) из коробки $M=C_4^3\cdot C_5^3\cdot C_5^4=4\cdot 10\cdot 5=200$ (благоприятные исходы)

Число способов, которыми из корoбки можно вытащить 10 кaрандашей $N=C_{14}^{10}=\dfrac{14!}{10!(14-10)!}=\dfrac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=11\cdot 13\cdot 7=1232$

Искомая вероятность, по определению - это отношение числа способов, которыми можно вынуть желанные 10 карандашей (3 синих, 30 красных, 4 зеленых) к числу способов, которыми из коробки можно вытащить 10 карандашей.

$p=\dfrac{M}{N}=\dfrac{200}{1232}=0,16(233766)$

Ответ: $p=0,16(233766)$

2)В первoй урнe нахoдятся 4 бeлых и 2 черных шaра, во втoрой урнe 4 бeлых и 2 сuнuх, в третьей - 5 бeлых и 4 крaсных. Из первой и вторoй урны наудaчу извлекают по однoму шaру и кладут в третью. После этого из третьей uзвлекают шар. Найти верoятность тoго, чтo oн oкажется бeлым.

Вероятность из первой урны вытащить белый шар $p_1=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_1=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Вероятность из второй урны вытащить белый шар $p_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_2=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Вероятность того, что в третьей урне будет пять белых шаров $p_5=\overline p_1\cdot \overline p_2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет семь белых шаров $p_7=p_1\cdot p_2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет 6 белых шаров $p_6=1-(p_1\cdot p_2+\overline p_1\cdot \overline p_2)=1-\dfrac{1}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{9}$


Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 5 белых шаров $\hat p_5=\dfrac{5}{8}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 6 белых шаров $\hat p_6=\dfrac{6}{9}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 7 белых шаров $\hat p_7=\dfrac{7}{10}$

По формуле полной вероятности, вероятность вытащить белый шар из третьей урны

$$p=p_5\hat p_5+p_6\hat p_6+p_7\hat p_7=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{6}{9}\cdot \dfrac{4}{9}+ \dfrac{7}{10}\cdot \dfrac{4}{9}=\dfrac{5\cdot 9\cdot 10+6\cdot 4\cdot 8\cdot 10+7\cdot 4\cdot 8\cdot 9}{8\cdot 9\cdot 9 \cdot 10}=\dfrac{450+1920+2016}{72\cdot 90}=\dfrac{4386}{6480}=0,676(851)$$

3) Вероятнoсть попаданuя стрелка в мuшень при однoм выстрeле рaвна $p=\dfrac 2 3$
Производuтся 6 выстрeлов. Найти верoятность тогo, что стрелoк прoмахнется не бoлее двух рaз.

Вероятность промаха при одном выстреле $\overline p=\dfrac 1 3$

Вероятность промахнутся 2 раза из 6

$\overline p^2_6=C_6^2\cdot (\overline p)^2 \cdot p^4=\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (\dfrac 2 3)^4\cdot (\dfrac 1 3)^2=\dfrac {5\cdot 3 \cdot 16}{3^6}=\dfrac{80}{3^5}=\dfrac{80}{243}$

Вероятность промахнутся 1 раз из 6

$\overline p^1_6=C_6^1\cdot (\overline p)^1 \cdot p^5=\dfrac{6!}{5!1!}\cdot (\dfrac 1 3)^1\cdot (\dfrac 2 3)^5=\dfrac {6\cdot 2^5}{3^6}=\dfrac{64}{243}=\dfrac{64}{243}$

А что еще сделать можно - не знаю...

[gris]

1) правильно
2) в третьей урне 11 шаров. Ошиблись с вероятностями. Можно попроще немного, но идея верная.
3) ещё посчитать вероятность промахнуться 0 раз. А потом сложить.

[matpom]

integral2009 в сообщении #301355 писал(а):

3) Вероятнoсть попаданuя стрелка в мuшень при однoм выстрeле рaвна $p=\dfrac 2 3$
Производuтся 6 выстрeлов. Найти верoятность тогo, что стрелoк прoмахнется не бoлее двух рaз.

Вероятность промаха при одном выстреле $\overline p=\dfrac 1 3$

Вероятность промахнутся 2 раза из 6

$\overline p^2_6=C_6^2\cdot (\overline p)^2 \cdot p^4=\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (\dfrac 2 3)^4\cdot (\dfrac 1 3)^2=\dfrac {5\cdot 3 \cdot 16}{3^6}=\dfrac{80}{3^5}=\dfrac{80}{243}$

Вероятность промахнутся 1 раз из 6

$\overline p^1_6=C_6^1\cdot (\overline p)^1 \cdot p^5=\dfrac{6!}{5!1!}\cdot (\dfrac 1 3)^1\cdot (\dfrac 2 3)^5=\dfrac {6\cdot 2^5}{3^6}=\dfrac{64}{243}=\dfrac{64}{243}$

А что еще сделать можно - не знаю...

А то что стрелок вообще не промахнется, вы об этом не думали?

События А0- 0 промахов
А1-1 промах
А2- 2 промаха
Эти события несовмесны, значит вероятность их суммы будет суммой вероятностей

[integral2009]

gris в сообщении #301372 писал(а):

1) правильно
2) в третьей урне 11 шаров. Ошиблись с вероятностями. Можно попроще немного, но идея верная.
3) ещё посчитать вероятность промахнуться 0 раз. А потом сложить.

Спасибо! Сейчас сделаю!

-- Ср мар 24, 2010 03:20:06 --

2)В первoй урнe нахoдятся 4 бeлых и 2 черных шaра, во втoрой урнe 4 бeлых и 2 сuнuх, в третьей - 5 бeлых и 4 крaсных. Из первой и вторoй урны наудaчу извлекают по однoму шaру и кладут в третью. После этого из третьей uзвлекают шар. Найти верoятность тoго, чтo oн oкажется бeлым.

Вероятность из первой урны вытащить белый шар $p_1=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_1=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Вероятность из второй урны вытащить белый шар $p_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_2=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Вероятность того, что в третьей урне будет пять белых шаров $p_5=\overline p_1\cdot \overline p_2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет семь белых шаров $p_7=p_1\cdot p_2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет 6 белых шаров $p_6=1-(p_1\cdot p_2+\overline p_1\cdot \overline p_2)=1-\dfrac{1}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{9}$


Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 5 белых шаров $\hat p_5=\dfrac{5}{9}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 6 белых шаров $\hat p_6=\dfrac{6}{10}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 7 белых шаров $\hat p_7=\dfrac{7}{11}$

По формуле полной вероятности, вероятность вытащить белый шар из третьей урны

$$p=p_5\hat p_5+p_6\hat p_6+p_7\hat p_7=\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{4}{9}+ \dfrac{7}{11}\cdot \dfrac{4}{9}=\dfrac{5\cdot 11\cdot 10+6\cdot 4\cdot 9\cdot 11+7\cdot 4\cdot 10\cdot 9}{9\cdot 9 \cdot 10\cdot 11}=\dfrac{550+2376+2520}{72\cdot 90}=\dfrac{5446}{8910}\approx 0,61122$$

-- Ср мар 24, 2010 03:21:19 --

Спасибо, matpom

-- Ср мар 24, 2010 03:35:13 --

3) Вероятнoсть попаданuя стрелка в мuшень при однoм выстрeле рaвна $p=\dfrac 2 3$
Производuтся 6 выстрeлов. Найти верoятность тогo, что стрелoк прoмахнется не бoлее двух рaз.

Вероятность промаха при одном выстреле $\overline p=\dfrac 1 3$

Вероятность промахнутся 2 раза из 6

$\overline p_6(2)=C_6^2\cdot (\overline p)^2 \cdot p^4=\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (\dfrac 2 3)^4\cdot (\dfrac 1 3)^2=\dfrac {5\cdot 3 \cdot 16}{3^6}=\dfrac{80}{3^5}=\dfrac{240}{729}$

Вероятность промахнутся 1 раз из 6

$\overline p_6(1)=C_6^1\cdot (\overline p)^1 \cdot p^5=\dfrac{6!}{5!1!}\cdot (\dfrac 1 3)^1\cdot (\dfrac 2 3)^5=\dfrac {6\cdot 2^5}{3^6}=\dfrac{192}{729}$

Вероятность промахнутся 0 раз из 6 (все разы попасть)

$\overline p_6(0)=C_6^0\cdot (\overline p)^0 \cdot p^6=\dfrac{6!}{6!0!}\cdot (\dfrac 1 3)^0\cdot (\dfrac 2 3)^6=\dfrac {1\cdot 2^6}{3^6}=\dfrac{64}{729}$

Вероятность промахнутся не более 2 раз

$p=\overline p_6(0)+\overline p_6(1)+\overline p_6(2)=\dfrac{64+192+240}{729}=\dfrac{496}{729}\approx 0,68 $

[gris]

Я всё же повторюсь В третьей урне было 9 шаров и добавили туда 2. То есть стало 11 шаров. Белых может быть 5,6 или 7. Для нахождения вероятности надо каждый раз делить на 11.

[ewert]

2). Крайне неудачно выдвинуты гипотезы. В таких задачах следует подходить к этому совсем с другой стороны. А именно:

$H_1=\{\text{вытащенный шар был переложен из первой урны}\}$;
$H_2=\{\text{вытащенный шар был переложен из второй урны}\}$;
$H_3=\{\text{вытащенный шар с самого начала лежал в третьей урне}\}$.

[gris]

А я и говорил, что можно попроще. Кстати, можно и ещё проще. Всего две гипотезы, так как с точки зрения белых шаров первая и вторая урны одинаковы и представляют собой как бы одну двойную урну.

[integral2009]

Спасибо, gris и ewert
Попробую сделать проще

В первoй урнe нахoдятся 4 бeлых и 2 черных шaра, во втoрой урнe 4 бeлых и 2 сuнuх, в третьей - 5 бeлых и 4 крaсных. Из первой и вторoй урны наудaчу извлекают по однoму шaру и кладут в третью. После этого из третьей uзвлекают шар. Найти верoятность тoго, чтo oн oкажется бeлым.

С точки зрения белых шаров - первая и вторая урна - одинаковы => Можно их объединить и в связи с этим переформулировать условие.
В первой и второй урне лежат 8 белых 2 черных и 2 синих шара. Первую и вторую урну назовем урной $A$, третью урну назовем урной $B$.
В урне $A$ лежат 8 белых 2 черных и 2 синих шара.
Из урны $A$ достают 2 шара одновременно и перекладывают в урну $B$. После этого, из урны $B$ извлекают шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Вероятность из урны $A$достать белый шар, вытаскивая 1 шар из этой урны $p(A)=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$

Вероятность из урны $A$ Достать два белых шара, вытаскивая 2 шара из этой урны одновременно $p_2(A)=p(A)p(A)=\dfrac{4}{9}$

Вероятность из урны $A$ не достать белого шара, вытаскивая один шар из этой урны

$\overline p(A)=1-p(A)=\dfrac{1}{3}$

Вероятность из урны $A$ не достать ни одного белого шара, вытаскивая 2 шара из этой урны одновременно

$\overline p_2(A)=\overline p(A)\overline p(A)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Вероятность из урны $A$ достать один белый шар, вытаскивая 2 шара из этой урны одновременно
$p_1(A)=1-p_2(A)-\overline p_2(A)=\dfrac{9-6-1}{9}=\dfrac{2}{9}$

Вероятность вытащить белый шар из урны $B$, при условии, что там 5 белых и 4 красных шара

$p_0(B)=\dfrac{5}{9}$

Вероятность вытащить белый шар из урны $B$, при условии, что там 6 белых и 4 красных шара

$p_1(B)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$

Вероятность вытащить белый шар из урны $B$, при условии, что там 7 белых и 4 красных шара

$p_2(B)=\dfrac{7}{11}$

По формуле полной вероятности, вероятность вытащить белый шар из урны $B$

$$p(B)=\overline {p_2(A)}p_0(B)+p_1(A)p_1(B)+p_2(A)p_2(B)=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{7}{11}=\dfrac{5\cdot 5\cdot 11+2\cdot 3\cdot 9\cdot 11+4\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{9\cdot 9\cdot 5\cdot{11}}\dfrac{275+574+1260}{9\cdot 9\cdot 5\cdot{11}}=\dfrac{2101}{4455}\approx 0,4716049382716$$

Третью урну мы обозначили буквой $B$

Ответ: Вероятность вытащить белый шар из третьей урны $\approx 0,4716049382716$

Привильно?!

[gris]

Вы упорно считаете, что в урне В может лежать 9 и 10 шаров?

Упрощение состоит в том, что мы все небелые шары покрасим в красный цвет. Синие, красные, чёрные - какая разница. Ссыпать первую и вторую урны в одну не нужно.

Итак, мы в урну B добавили 2 шара. Стало в ней 11 шаров. Один шар вынули. Вероятность, что он и раньше лежал там 9/11. То, что он был белым 5/9.
Вероятность, что он не лежал там 2/11. То, что он был белым 2/3, причём это не зависит от того, из какой именно урны его вынули. Умножаем, складываем.

Совпадает с Вашим первым решением, если его подкорректировать с учётом 11 шаров.

Впрочем Ваше решение отвечает такому условию: из первых урн вынимают по шару и если они белые, то перекладывают в третью.

[ewert]

Так, ладно. Вот как надо было оформлять.

Гипотезы: $H_i=\{\text{Шар происходит из урны с номером}\ i\}$, $i=1,2,3$.

Событие: $A=\{\text{Окончательно вытащенный шар -- белый}\}$.

Вероятности гипотез: $P(H_1)=P(H_2)=\dfrac{1}{2+9}=\dfrac{1}{11},\quad P(H_3)=\dfrac{9}{2+9}=\dfrac{9}{11}$.

Условные вероятности: $P(A|H_1)=P(A|H_2)=\dfrac{4}{4+2}=\dfrac{2}{3},\quad P(A|H_3)=\dfrac{5}{5+4}=\dfrac{5}{9}$.

Полная вероятность: $P(A)=\dfrac{1}{11}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{11}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{11}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{19}{33}.$

Кстати, словосочетание

gris в сообщении #301690 писал(а):

первая и вторая урны одинаковы и представляют собой как бы одну двойную урну.

-- крайне неудачно. Если следовать ему буквально, то придётся брать числа сочетаний по два, что, естественно, неверно. Тогда уж надо оформлять это так:

$H_1=\{\text{Шар происходит из 1-й или 2-й урны}\}$, $P(H_1)=\dfrac{2}{11}$;
$H_2=\{\text{Шар происходит из 3-й урны}\}$, $P(H_1)=\dfrac{2}{11}$.

[gris]

Да, немного неудачно, хотя я и сказал, что ссыпать шары не нужно. Двойная - типа дубликата. Если бы было сто одинаковых первых урн, то не пришлось бы выдвигать сто одну гипотезу.
Слова "не лежал там" как раз и означают, что он из первой или второй урны. Если бы состав первой и второй урн был бы разным относительно белых шаров, то да - три гипотезы, как три банана. Не тех, которые на экзамене получают.
Ответы одинаковы.

[integral2009]

Спасибо, теперь я понял в чем ошибки моего решения, но не понял - откуда взялось это:

Цитата:

Вероятности гипотез: $P(H_1)=P(H_2)=\dfrac{1}{2+9}=\dfrac{1}{11},\quad P(H_3)=\dfrac{9}{2+9}=\dfrac{9}{11}$.

Что означают гипотезы $H_i$ и событие $A$ -ясно!
-- Ср мар 24, 2010 22:58:22 --

2)В первoй урнe нахoдятся 4 бeлых и 2 черных шaра, во втoрой урнe 4 бeлых и 2 сuнuх, в третьей - 5 бeлых и 4 крaсных. Из первой и вторoй урны наудaчу извлекают по однoму шaру и кладут в третью. После этого из третьей uзвлекают шар. Найти верoятность тoго, чтo oн oкажется бeлым.

Вероятность из первой урны вытащить белый шар $p_1=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_1=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Вероятность из второй урны вытащить белый шар $p_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Вероятность из первой урны не вытащить белый шар $\overline p_2=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Вероятность того, что в третьей урне будет пять белых шаров $p_5=\overline p_1\cdot \overline p_2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет семь белых шаров $p_7=p_1\cdot p_2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$

Вероятность того, что в третьей урне будет 6 белых шаров $p_6=1-(p_1\cdot p_2+\overline p_1\cdot \overline p_2)=1-\dfrac{1}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{9}$


Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 5 белых шаров $\hat p_5=\dfrac{5}{11}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 6 белых шаров $\hat p_6=\dfrac{6}{11}$
Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 7 белых шаров $\hat p_7=\dfrac{7}{11}$

По формуле полной вероятности, вероятность вытащить белый шар из третьей урны

$$p=p_5\hat p_5+p_6\hat p_6+p_7\hat p_7=\dfrac{5}{11}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{6}{11}\cdot \dfrac{4}{9}+ \dfrac{7}{11}\cdot \dfrac{4}{9}=\dfrac{5\cdot 1+6\cdot 4+ 7\cdot 4}{9\cdot 11}=\dfrac{57}{11\cdot 9}=\dfrac{19\cdot 3}{11\cdot 3\cdot 3}=\dfrac{19}{33}$$

[gris]

В третьей урне стало 11 шаров. Один новый из первой, один новый из второй и девять старых из третьей.

Вот теперь правильно.

[integral2009]

А, спасибо! Теперь все ясно)

-- Ср мар 24, 2010 23:51:09 --

Да, у ewert'а решение гораздо проще и красивее, чем у меня)