Уравнение Шредингера

[vov4er]

Добрый день, вот уже какую неделю не могу разобраться с уравнением Шредингера с переменной эффективной массой в параболической яме:(
Если кто знает, как его решать, или какие шаги к решению можно применить, или вид функций решения - поделитесь пожалуйста.
Может быть посоветуете какую-нибудь литературу. Буду очень благодарен

[photon]

В смысле $m$ - функция координаты?

[ewert]

vov4er в сообщении #301407 писал(а):

с переменной эффективной массой в параболической яме:(

вообще-то в одной яме -- никогда не слышал, чтоб были какие-то эффективные массы. В цепочке ям -- дело другое. Что в точности начальники понимают под "эффективной массой"?... как они формально её определяют?... ну или пусть хоть приблизительно формально?...

[vov4er]

photon в сообщении #301413 писал(а):

В смысле $m$ - функция координаты?

да, эффективная масса зависит от координаты линейно

-- Вт мар 23, 2010 20:37:31 --

ewert в сообщении #301479 писал(а):

vov4er в сообщении #301407 писал(а):

с переменной эффективной массой в параболической яме:(

вообще-то в одной яме -- никогда не слышал, чтоб были какие-то эффективные массы. В цепочке ям -- дело другое. Что в точности начальники понимают под "эффективной массой"?... как они формально её определяют?... ну или пусть хоть приблизительно формально?...

есть одномерная потенциальная яма, вид которой параболический (U=(k*x^2)/2 такая задача решалась в гармоническом осцилляторе), которая ограничена некоторыми размерами, и в ней эффективная масса не постоянна, а m=a*x+b

[ewert]

vov4er в сообщении #301484 писал(а):

m=a*x+b

это просто немыслимо ни в какой интерпретации. У Вас получится, что масса иногда (собственно, если учесть симметрию задачи -- в половине случаев) выйдет отрицательной. Это никому не нужно и этого никогда не бывает.

Уточните определения, а я не телепат. (Хотя, напрягая телепатические способности: Вы явно какие-то быковки перепутали.)

[vov4er]

ewert в сообщении #301520 писал(а):

vov4er в сообщении #301484 писал(а):

m=a*x+b

это просто немыслимо ни в какой интерпретации. У Вас получится, что масса иногда (собственно, если учесть симметрию задачи -- в половине случаев) выйдет отрицательной. Это никому не нужно и этого никогда не бывает.

Уточните определения, а я не телепат. (Хотя, напрягая телепатические способности: Вы явно какие-то быковки перепутали.)

Ну в уравнении массы есть же еще параметры "b" и "a", потому масса не обязательно должна быть отрицательной, а случай на бесконечности не рассматриваем...
Это физика работы РТД с параболической пот.ямой...может кто книжечку какую порекомендует, или может быть статью

[photon]

vov4er, может завтра посоветую что-то конкретное, а пока только пару фамилий: Burt, Foreman

[nestoklon]

Обычно когда хотят учесть переменную массу, ставят её между дифференциалами. То есть

$$ \frac1{m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longrightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac1{m(x)} \frac{\partial}{\partial x} $$

Строго говоря, такая замена обовенно не обоснована. Строго можно получить более общее выражение, которое содержит неизвестную константу.
Но в любом случае, такие задачи обычно решать надо по-другому, потому что влияние других зон важнее чем то, какая там стоит константа. Для оценок берут в том виде что я указал.
Я поищу, где это поподробнее написано.

[vov4er]

photon в сообщении #301633 писал(а):

vov4er, может завтра посоветую что-то конкретное, а пока только пару фамилий: Burt, Foreman

Спасибо большое за литературу, обязательно посмотрю

-- Ср мар 24, 2010 19:29:00 --

nestoklon в сообщении #301670 писал(а):

Обычно когда хотят учесть переменную массу, ставят её между дифференциалами. То есть

$$ \frac1{m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longrightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac1{m(x)} \frac{\partial}{\partial x} $$

Строго говоря, такая замена обовенно не обоснована. Строго можно получить более общее выражение, которое содержит неизвестную константу.
Но в любом случае, такие задачи обычно решать надо по-другому, потому что влияние других зон важнее чем то, какая там стоит константа. Для оценок берут в том виде что я указал.
Я поищу, где это поподробнее написано.

Я встречал статью, где эффективная масса была так учтена (в Гамильтониане), но решение такого уравнения Шредингера не было написано, метод решения такого уравнения я не нашел, даже maple мне не дал никакого результата:( можно, конечно, воспользоваться численными методами, но задача состоит в том, чтоб найти аналитическое решение ур.Шредингера с переменной массой:(
photon, буду очень признателен, если Вы найдете источник про который Вы говорите...

[photon]

nestoklon в сообщении #301670 писал(а):

Обычно когда хотят учесть переменную массу, ставят её между дифференциалами. То есть

$$ \frac1{m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longrightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac1{m(x)} \frac{\partial}{\partial x} $$

Есть масса других выражений, ничуть не хуже... Где-то встречал целую статью об этом.

vov4er в сообщении #301912 писал(а):

Я встречал статью, где эффективная масса была так учтена (в Гамильтониане), но решение такого уравнения Шредингера не было написано, метод решения такого уравнения я не нашел, даже maple мне не дал никакого результата:( можно, конечно, воспользоваться численными методами, но задача состоит в том, чтоб найти аналитическое решение ур.Шредингера с переменной массой:(

Я-то в 95% случаев решаю численно, так что с аналитикой вряд ли помогу

[nestoklon]

photon в сообщении #302021 писал(а):

Есть масса других выражений, ничуть не хуже... Где-то встречал целую статью об этом.

Угу. Там, где масса разбита на два сомножителя, один снаружи другой между производными. Или надо включать другие зоны, тогда совсем чудеса начнутся. Я об этом кстати упомянул.
У Формана в самом деле есть пара хороших статей на эту тему. Только там слишком сложно.
Тупо гуглом нашёл статью где это выражение используется, там дают ссылки на
O. von Roos. Phys. Rev. B, 27, 7547 (1983).
R.A. Morrow, K.R. Brownstein. Phys. Rev. B, 30, 678 (1984).
R.A. Morrow. Phys. Rev. B, 35, 8074 (1987).
I. Galbraith, G. Duggan. Phys. Rev. B, 38, 10 057 (1988).
Q.-G. Zhu, H. Kroemer. Phys. Rev. B, 27, 3519 (1983).
Последних точно читал. Вроде ничего.

В принципе, я точно знаю что про это есть в этой книжке. Вот только под рукой её нет и на кого они ссылаются, не посмотреть.

vov4er в сообщении #301912 писал(а):

но решение такого уравнения Шредингера не было написано, метод решения такого уравнения я не нашел, даже maple мне не дал никакого результата

В каждом конкретном случае решить это уравнение можно. Обычно этого достаточно. Возьмите линейную зависимость от координаты. Думаю, даже maple справится.

[vov4er]

nestoklon в сообщении #302037 писал(а):

photon в сообщении #302021 писал(а):

Есть масса других выражений, ничуть не хуже... Где-то встречал целую статью об этом.

Угу. Там, где масса разбита на два сомножителя, один снаружи другой между производными. Или надо включать другие зоны, тогда совсем чудеса начнутся. Я об этом кстати упомянул.
У Формана в самом деле есть пара хороших статей на эту тему. Только там слишком сложно.
Тупо гуглом нашёл статью где это выражение используется, там дают ссылки на
O. von Roos. Phys. Rev. B, 27, 7547 (1983).
R.A. Morrow, K.R. Brownstein. Phys. Rev. B, 30, 678 (1984).
R.A. Morrow. Phys. Rev. B, 35, 8074 (1987).
I. Galbraith, G. Duggan. Phys. Rev. B, 38, 10 057 (1988).
Q.-G. Zhu, H. Kroemer. Phys. Rev. B, 27, 3519 (1983).
Последних точно читал. Вроде ничего.

В принципе, я точно знаю что про это есть в этой книжке. Вот только под рукой её нет и на кого они ссылаются, не посмотреть.

vov4er в сообщении #301912 писал(а):

но решение такого уравнения Шредингера не было написано, метод решения такого уравнения я не нашел, даже maple мне не дал никакого результата

В каждом конкретном случае решить это уравнение можно. Обычно этого достаточно. Возьмите линейную зависимость от координаты. Думаю, даже maple справится.

Я и брал линейную зависимость, но ничего с этого не вышло: пыталось найти вид решения данного уравнения, что-то делалось с функциями Витакера, но на этом все и закончилось:( сегодня посмотрю в источниках, что вы дали, надеюсь там чего-нибудь интересного найти...

[whiterussian]

Гринбергер полностью разработал фомализм частиц с переменной массой ....

JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS VOLUME 11, NUMBER 8 AUGUST 1970
Theory of Particles with Variable Mass. I. Formalism
Theory of Particles with Variable Mass. II. Some Physical Consequences