Случайные величины

[oleg-spbu]

1) Плотнoсть рaспределения случaйной вeличины $X$ имеет вид

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x<2\\ \dfrac{a(x-2)}{2}, & 2<x<4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

Найти параметр $a$
Функция распределения $F(x)$

Как параметр $a$ найти - ясно, а как функцию распределения - нет...

параметр $a$ можно найти из условий нормировки

$1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int\limits_{2}^{4}\dfrac{a(x-2)}{2}dx=\dfrac{a}{2}\int\limits_{2}^{4}(x-2)=\left.\dfrac{a}{2}(x^2-2x)\right|_{2}^4=4a=1$

=>$a=\dfrac{1}{4}$

$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x{f(t)dt}=\int\limits_2^x\dfrac{t-2}{8}dt=\dfrac{1}{8}\int\limits_2^x(t-2)dt=\left.\dfrac{1}{8}(t^2-2t)\right|_{2}^x=\dfrac{1}{8}(x^2-2x-(2^2-4))=\dfrac{x^2-2x}{8}$$

2 Случайная величина $X$ равна числу появлений герба в серии из 5 бросаний. Найти закон распределения и функцию распределения $F(x)$ этой случайной величины. Вычислить ее математическое ожидание $M(X)$ и дисперсию $D(X)$ Построить график функции распределения.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline p_i & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0.5\\ \hline \end{tabular}$

Правильно ли я составил таблицу?)

[gris]

1.Вы почти правильно нашли $a$ и ФР на отрезке $[0;4]$. Но интеграл от $t$ это $t^2/2$. Пересчитайте всё.Чему равна ФР "до" и чему "после" этого отрезка?
2. неправильно. Сумма $p_i$ должна равняться 1. Каждое значение посчитайте по формуле Бернулли.
$p_0$ - вероятность, что все пять раз монета упадёт решкой. Разве 1/2?

Спасибо, Alexey1, я чего то не первый раз их путаю

[Alexey1]

gris в сообщении #301405 писал(а):

2. неправильно. Сумма $p_i$ должна равняться 1. Каждое значение посчитайте по формуле Байеса.

Вы хотели сказать Бернулли?

[oleg-spbu]

Спасибо, gris и Alexei1

1) Плотнoсть рaспределения случaйной вeличины $X$ имеет вид

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x<2\\ \dfrac{a(x-2)}{2}, & 2<x<4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

a) Найти параметр $a$
b) Функция распределения $F(x)$

a) Параметр $a$ можно найти из условий нормировки

$$1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int\limits_{2}^{4}\dfrac{a(x-2)}{2}dx=\dfrac{a}{2}\int\limits_{2}^{4}(x-2)=\left.\dfrac{a}{2}(\dfrac{x^2}{2}-2x)\right|_{2}^4=\dfrac{a}{2}[(\dfrac{4^2}{2}-2\cdot 4)-(\dfrac{2^2}{2}-2\cdot 2)]=\dfrac{2a}{2}=a=1$$

=>$a=1$

$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x{f(t)dt}=\int\limits_2^x\dfrac{t-2}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_2^x(t-2)dt=\left.\dfrac{1}{2}(\dfrac{t^2}{2}-2t)\right|_{2}^x=\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^2}{2}-2x-(\dfrac{2^2}{2}-4))=\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^2}2-2x+2)=\dfrac{x^2}{4}-x+1$$

gris в сообщении #301405 писал(а):

Чему равна ФР "до" и чему "после" этого отрезка?

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x<2\\ \dfrac{x^2}{4}-x+1, & 2<x<4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

[/math]

Правильно ли оформлено?!!!

[oleg-spbu]

2 Случайная величина $X$ равна числу появлений герба в серии из 5 бросаний. Найти закон распределения и функцию распределения $F(x)$ этой случайной величины. Вычислить ее математическое ожидание $M(X)$ и дисперсию $D(X)$ Построить график функции распределения.

$p_0=C_5^0(0.5)^0\cdot (0.5)^5=\dfrac{5!}{5!0!2^5}=\dfrac{1}{32}$

$p_1=C_5^1(0.5)^1\cdot (0.5)^4=\dfrac{5!}{4!1!2^5}=\dfrac{5}{32}$

$p_2=C_5^2(0.5)^2\cdot (0.5)^3=\dfrac{5!}{2!3!2^5}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}$

$p_3=C_5^3(0.5)^3\cdot (0.5)^2=\dfrac{5!}{3!2!2^5}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}$

$p_4=C_5^4(0.5)^4\cdot (0.5)^1=\dfrac{5!}{1!4!2^5}=\dfrac{5}{32}$

$p_5=C_5^5(0.5)^5\cdot (0.5)^0=\dfrac{5!}{5!0!2^5}=\dfrac{1}{32}$

Проверим условие нормировки

$\sum\limits_{k=0}^{5}p_k=\dfrac{1+5+10+10+5+1}{32}=\dfrac{32}{32}=1$

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline p_i & 1/32 & 5/32 & 10/32 &10/32& 5/32&1/32 \\ \hline \end{tabular}$$

$$M(X)=\sum\limits_{k=0}^{5}p_kx_k=\dfrac{1}{32}(0+5+20+30+20+5)=\dfrac{80}{32}=2,5$$

$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)=\dfrac{1}{32}(0+5+40+90+80+25)-(2,5)^2=7,5-6,25=1,25$$

$F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i$

А как дальше искать функцию распределения?)))

[oleg-spbu]

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\leqslant 0\\ 1/32, & 0<x\leqslant 1\\ 6/32, & 1<x\leqslant 2\\ 16/32, & 2<x\leqslant 3\\ 26/32, & 3<x\leqslant 4\\ 31/32, & 4<x\leqslant 5\\ 32/32, & x>5 \end{array} \right.$$

Или так

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\leqslant 0\\ 1/32, & 0<x\leqslant 1\\ 3/16, & 1<x\leqslant 2\\ 1/2, & 2<x\leqslant 3\\ 13/16, & 3<x\leqslant 4\\ 31/32, & 4<x\leqslant 5\\ 1, & x>5 \end{array} \right.$$

-- Ср мар 24, 2010 04:01:33 --

[Alexey1]

oleg-spbu в сообщении #301589 писал(а):

gris в сообщении #301405 писал(а):

Чему равна ФР "до" и чему "после" этого отрезка?

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x<2\\ \dfrac{x^2}{4}-x+1, & 2<x<4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

Функция распределения это неубывающая функция, поэтому $F(x)=1, 4<x<\infty$. Кстати, расставьте знаки, чтобы функция была везде определена, так как из Вашей записи непонятно, чему равно, например, $F(4)$. Всё остальное вроде бы верно (детали проверьте сами).

[gris]

В аналитическом виде ФР для второй задачи непрерывна слева, а на рисунке - справа, как и положено. То есть условия должны быть записаны так: $0\leqslant x <1$ и т.д.
А так очень хорошее оформление и расписано всё подробно и аккуратно.

[oleg-spbu]

Alexey1 , спасибо!!! Только я не понял про "$1.4$". Так у меня ФР и так неубывающая...

-- Ср мар 24, 2010 13:33:14 --

gris в сообщении #301679 писал(а):

В аналитическом виде ФР для второй задачи непрерывна слева, а на рисунке - справа, как и положено. То есть условия должны быть записаны так: $0\leqslant x <1$ и т.д.
А так очень хорошее оформление и расписано всё подробно и аккуратно.

Спасибо! Я в интернете нашел информацию, что так расставлены знаки.
Вот здесь.
http://www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/m ... /mukr9.htm

-- Ср мар 24, 2010 13:36:30 --

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & x< 0\\ 1/32, & 0\leqslant x<1\\ 6/32, & 1\leqslant x< 2\\ 16/32, & 2\leqslant x< 3\\ 26/32, & 3\leqslant x<4\\ 31/32, & 4\leqslant x<5\\ 32/32, & x\geqslant 5 \end{array} \right.$$

-- Ср мар 24, 2010 04:01:33 --



-- Ср мар 24, 2010 13:41:08 --

А, понял, Alexei1, вы про другую задачу!

-- Ср мар 24, 2010 13:51:26 --

По-моему она и так неубывающая функция оказалась (повезло) А знаки да, нужно исправить, спасибо!

$\dfrac{x^2}{4}-x+1=\dfrac{1}{4}(x-2)^2$

$F(4) =\dfrac{1}{4}(4-2)^2=1$

$F(2) =\dfrac{1}{4}(2-2)^2=0$

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x\leqslant 2\\ \dfrac{x^2}{4}-x+1, & 2<x\leqslant 4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

[Alexey1]

oleg-spbu в сообщении #301717 писал(а):

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x\leqslant 2\\ \dfrac{x^2}{4}-x+1, & 2<x\leqslant 4\\ 0, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

У Вас из этой записи следует, что $F(x)=0, 4<x<\infty, что не верно. Она должна равняться 1, тогда она будет неубывающая.

[ewert]

(Оффтоп)

Alexey1 в сообщении #301795 писал(а):

У Вас из этой записи следует, что $F(x)=0, 4<x<\infty, что не верно.

Оно так, конечно, только обратите внимание, что у Вас получилось. Из Вашей записи выходит, что функция равна нулю целым четырём десятым и при этом меньше икса.

[oleg-spbu]

Ах, да точно, функция распределения должна быть равна единице, понял)

$$F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & -\infty<x\leqslant 2\\ \dfrac{x^2}{4}-x+1, & 2<x\leqslant 4\\ 1, & 4<x<\infty\\ \end{array} \right.$$

[oleg-spbu]

Кстати, да нужно было в первом задании сделать еще два пункта (там вопросов нет, но я на всякий случай тут напишу, вдруг чего-то неправильно)

в) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(3;5)$

$$p(3<x<5)=F(5)-F(3) = 1 - (\dfrac{3^2}{4}-3+1)=3-\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{12-9}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75$$

г) найти математическое ожидание $M(X)$ и дисперсию $D(X)$

$$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int\limits_{2}^{4}x\cdot \dfrac{x-2}{2}dx=\dfrac{1}2\int\limits_{2}^{4}(x^2-2x)dx=\left.\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^3}{3}-x^2)\right|_{2}^4=$$

$$=\dfrac{1}{2}(\dfrac{4^3}{3}-4^2-[\dfrac{2^3}{3}-2^2])=\dfrac{1}{2}\cdot (\dfrac{64-48}{3}-\dfrac{8-12}{3})=\dfrac{1}{6}\cdot (16+4)=\dfrac{10}{3}=3,(3)$$

$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$$

$$M(X^2)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx=\int\limits_{2}^{4}x^2\cdot \dfrac{x-2}{2}dx= \dfrac{1}2\int\limits_{2}^{4}(x^3-2x^2)dx=\left.\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{6})\right|_{2}^4=$$

$$=\dfrac{1}{2}(\dfrac{4^4}{4}-\dfrac{4^3}{6}-[\dfrac{2^4}{4}- \dfrac{2^3}{6}])=\dfrac{1}{2}(\dfrac{256-16}{4}-\dfrac{64-8}{6})=\dfrac 1 2(60-\dfrac{28}{3})=\dfrac{180-28}{6}=\dfrac{76}{3}$$

$$D(X)=\dfrac{76}{3}-(\dfrac{10}{3})^2=\dfrac{228-100}{9}=\dfrac{128}{9}=14,(2)$$

Построить график функции распределения и плотности распределения



Кстати, такой вопрос - принципиально или нет - обозначать случайную величину $X$ или $x$ ?

[AD]

А не могли бы Вы на будущее такие картинки кусать пополам, чтобы они влезали в типичный экран?
Вот я сижу на нетбуке, у меня всего 1366 точек в ширину, и форум колбасится от такой картинки.

oleg-spbu в сообщении #302146 писал(а):

принципиально или нет - обозначать случайную величину $X$ или $x$ ?

Главное - понимать, что в Ваших выкладках $X$ - это Случайная Величина, а $x$ - это какая-то никому не нужная переменная интегрирования, обозначенная той же буквой совершенно случайно* (можно было написать $t$, $\textit{щ}$ и т.п.). Ну есть такая распространенная путаница у начинающих теорверщиков.

(Оффтоп)

Вообще математики традиционно случайные величины обозначают буквами $\xi$, $\eta$, $\zeta$, ... , но почему-то у менее математиков такие буковки вызывают ужас

_________________
* Ну на самом деле не совсем-таки случайно. Смысл совпадения - в том, что буковка x скачет по области значений величины X. Но это примечание можно читать только после того, как поймёте, что это случайно (:

[oleg-spbu]

Хорошо, в следующий раз позабочусь насчет размеров экрана!!! Спасибо!
А правильно ли доделал?)