Неопределённый интеграл

[gris]

А не является ли неопределённое интегрирование чисто техническим, вспомогательным инструментарием матанализа?

Вся его теория посвящена хитроумным способам нахождения хоть какой-нибудь первообразной. А при огромном количестве уже готовых интегралов и компьютерных способах символьного интегрирования нахождение интегралов превращается лишь в средство мучения первокурсников, которые уже взяли миллиарды одинаковых интегралов и продолжают это делать, раскладывая дроби на простейшие, делая тривиальные подстановки, отыскивая подходящие части.

Рутинная работа! И главное, что она уже настолько отлажена, заезжена, доведена до автоматизма, что редкие случаи появления нового красивого неопределённого интеграла празднуются в научном мире не меньше, чем доказательство ВТФ.

Является ли интеграл множеством или выражением - нет абсолютно никакой разницы. Это может интересовать лишь историков математики или любителей доводить до абсурда изыскания подобные изысканиям пострадавшего от размножения личности Николя Б.

Теория неопределённого интегрирования давно окуклилась, превратившись, тем не менее, в мощнейший и полезнейший инструмент практики. И нет особого смысла расковыривать это метаобразование на живом теле математики.

[Ales]

gris в сообщении #280975 писал(а):

А не является ли неопределённое интегрирование чисто техническим, вспомогательным инструментарием матанализа?

Матанализ придуман для интегрирования, поскольку дифференцирование алгебраически тривиально. Интегрирование включает в себя в том числе и решение задач механики и физики. Первокурсникам полезно находить простейшие интегралы и знать основные приемы интегрирования. По поводу темы: с моей точки зрения, есть интеграл, как предел суммы, и есть формула Ньютона-Лейбница-Гаусса-Остроградского-Стокса $\int\limits_{\partial\Omega}{f}=\int\limits_{\Omega}{df}$.

[dmd]

Думаю, чтоб понять неопределенный интеграл и константу интегрирования нужно хоть раз самостоятельно составить конечно-элементную мат.модель для решения конкретной задачи с дифурами.

[Tigran]

А есть и более интересное определение неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл есть результат действия на функцию (вообще говоря, переменную) оператора неопределенного интегрирования, который определяется как оператор, обратный оператору диффренцирования. Оператор диффренцирования в этой концепции определяется как оператор, результатом действия которого на переменную является ее элементарное приращение (изменение). Примечательно то, что при таком подходе можно легко решить задачу неопределенного интегрирования функций от дискретно меняющихся переменных.

[AD]

Tigran в сообщении #281793 писал(а):

Примечательно то, что при таком подходе можно легко решить задачу неопределенного интегрирования функций от дискретно меняющихся переменных.

А что, в первом классе эту задачу еще не решают? Ну там 2+2=4 и т.п.

[ewert]

Tigran в сообщении #281793 писал(а):

оператора неопределенного интегрирования, который определяется как оператор, обратный оператору диффренцирования.

А обратного к оператору дифференцирования не существует, т.к. у него нетривиальное ядро.

[Gravist]

gris в сообщении #280975 писал(а):

А не является ли неопределённое интегрирование чисто техническим, вспомогательным инструментарием матанализа?

Tigran в сообщении #281793 писал(а):

А есть и более интересное определение неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл есть результат действия на функцию (вообще говоря, переменную) оператора неопределенного интегрирования...

Лично я понимаю неопределенный интеграл как алгоритм нахождения интеграла функции $f(x)$ по определенным пределам интегрирования с начальными условиями С

[paha]

Недавно мне попала в руки новая книга - сборник работ В. А. Рохлина http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=110491

так там есть статья "Лекция о преподавании математики нематематикам", где описана методика преподавания темы "интеграл"

книги у меня на руках нет, поэтому по памяти: интеграл (функции одной переменной) должен ВВОДИТьСЯ с использованием площади под графиком, т.е. опираться на аддитивность и полунепрерывность площади... никаких разбиений и бесконечных сумм (это для НЕматематиков)

и, конечно, сначала надо изучать ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл, а потом такую абстракцию в духе бурбаки как неопределенный... и уж как там неопределенный интеграл ФОРМАЛЬНО определять - не суть важно... лично мне кажется, что определение должно быть таким: функция $F$ называется первообразной для $f$, если $F'=f$ (на соответствующей области определения)
а после этого доказать простое утверждение: разность первообразных равна константе

[Padawan]

А чего неопределённый изучать? Там всего-то правило интегрирования по частям да замена переменной, все из дифференциального исчисления вытекает - на одну лекцию, максимум на полторы. Вот определённый действительно надо изучать - теоремы о среднем и т.д.

[paha]

Padawan в сообщении #301428 писал(а):

А чего неопределённый изучать? Там всего-то правило интегрирования по частям да замена переменной, все из дифференциального исчисления вытекает - на одну лекцию, максимум на полторы. Вот определённый действительно надо изучать - теоремы о среднем и т.д.

Ну, знаете... подстановки Эйлера, случаи интегрирования Чебышева... можно такого нарыть, что за полторы лекции не управиться))) Тут все-таки проступает специфика выбора "элементарных функций"

а так - конечно, достаточно одной лекции, которая бы называлась не "теория неопределенного интеграла", а "МЕТОДЫ интегрирования в элементарных функциях" - типа построения "циркулем и линейкой"

[ewert]

Padawan в сообщении #301428 писал(а):

А чего неопределённый изучать? Там всего-то правило интегрирования по частям да замена переменной, все из дифференциального исчисления вытекает - на одну лекцию,

Ни хрена:

paha в сообщении #301440 писал(а):

... подстановки Эйлера, случаи интегрирования Чебышева... можно такого нарыть, что

Проблема в том, что если формальное дифференцирование -- это просто голая техника (ну так между нами девочками), то формальное интегрирование -- это уже искусство. (А уж про интегрирование дифуров ну пусть хоть 1-го порядка -- даже и подумать-то страшно...)

И если есть осмысленные классы функций, допускающие интегрирование в замкнутом виде -- и если они достаточно часто встречаются на практике (а это её-же-ей) -- то их в курсе никак нельзя не уважить.

[Gravist]

Этак сочно

ewert в сообщении #301552 писал(а):

Ни хрена

Остаюсь при мнении: Неопределённый - это алгоритм!

[Ales]

Лифщиц про Ландау:
Поэтому первое, чему Лев Давидович подвергал всякого экзаменующегося, было испытание по математике в её «практических», вычислительных аспектах. Требовалось: умение взять любой неопределённый интеграл (выражающейся через элементарные функции) и решить любое обыкновенное дифференциальное уравнение стандартного типа, знание векторного анализа и тензорной алгебры; во второй экзамен по математике входили основы теории функции комплексного переменного (теория вычетов, метод Лапласа). Предполагалось при этом, что такие разделы, как тензорный анализ, теория групп и т.д., будут изучены вместе с теми разделами теоретической физики, где они находят себе применение.

[Padawan]

ewert в сообщении #301552 писал(а):

Ни хрена:

Позволю себе с Вами не согласиться.

ewert в сообщении #301552 писал(а):

формальное интегрирование -- это уже искусство. (А уж про интегрирование дифуров ну пусть хоть 1-го порядка -- даже и подумать-то страшно...)

Неопределенное интегрирование перестало быть искусством 200 лет назад, а решение обыкновенных дифуров -- 100 лет назад (после работ Ли).
Сейчас исскусство -- это УрЧП, и всякие интегро-дифференциальные уравнения.

ewert в сообщении #301552 писал(а):

И если есть осмысленные классы функций, допускающие интегрирование в замкнутом виде -- и если они достаточно часто встречаются на практике (а это её-же-ей) -- то их в курсе никак нельзя не уважить.

Ну и чего на лекции рассказывать из неопределенного интегрирования, что только из практических занятий не понятно будет? Интегрирование рациональных - это разложение на простейшие дроби - алгебра. Подстановки Эйлера, универсальная тригонометрическая? И какая в них теория, кроме -- да, и правда интегрируется.

Теория есть в теоремах Чебышева, Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях, абелевых интегралах (тут уже без тфкп не обойтись). Я сомневаюсь, что Вы их на лекциях излагаете (с доказательствами).

[ewert]

Padawan в сообщении #309304 писал(а):

Теория есть в теоремах Чебышева, Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях, абелевых интегралах (тут уже без тфкп не обойтись). Я сомневаюсь, что Вы их на лекциях излагаете (с доказательствами).

Я их вообще не излагаю. Как это ни странно, но единственное из стандартного курса математики (первые три-четыре семестра), что мне никогда (насколько я помню) не доводилось читать -- это как раз анализ в первом-втором (частично) семестре. Впрочем, и те, кто у нас это читает -- этих теорем, кажется, даже не упоминают.