Вопрос о практическом применении модели дельта-функции

[trqwert]

Добрый день!
Вот столкнулся со следующей проблемой. Может кто-нибудь даст совет?
Пусть есть некоторая функция (например, гауссов колокольчик): $u(x,\epsilon)=\frac{e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\epsilon^2}}}{\sqrt{2\pi\epsilon^2}}$. Ну и очевидно, что при $\lim\limits_{\epsilon\to\infty}u(x,\epsilon)$ получаю дельта-функцию. Однако, на практике (при больших, но не бесконечных $\epsilon$) мне необходимо искать площадь под кривой такой вот функции. При этом чисто алгоритмически при вычислениях проявляется очень быстрый рост функции и машина выдаёт либо ошибку либо неадекватный результат (расчёты провожу в wolfram mathematica). Вот и хотелось бы как-то оградить себя на практике от этого случая, указав, в качестве правила некоторый $\epsilon$ с которого данную функцию $u(x,\epsilon)$ можно было бы рассматривать как дельта-функцию и проводить преобразования аналитически, что значительно упрощает дело. Вот и встаёт следующий вопрос: А нельзя ли указать численный критерий близости (для данного аргумента) заданной функции к дельта-функции? А то предел - это как-то не серьёзно на практике...
Может там, по скорости роста или ширине по заданному уровню.... ну или ещё как-то. Может есть какая-нибудь литература по данному вопросу?

[Anatoly]

Насколько я понимаю, площадь под данной кривой равна 1 при любых $\epsilon$. Так что тут и считать ничего не надо. Кстати, в показатели степени экспоненты забыли "-".

-- Пн мар 22, 2010 17:25:12 --

Насколько я понимаю, площадь под данной кривой равна 1 при любых $\epsilon$. Так что тут и считать ничего не надо. Кстати, в показатели степени экспоненты забыли "-".

[trqwert]

Да, спасибо, действительно потерял "-" в экспоненте. На самом деле, я просто для наглядности привёл гауссов колокольчик (уже с правильной нормировкой) в моей задаче, функция более сложная, хотя и имеющая такую же асимптотику, по-этому есть необходимость её нормировать.
P.S.: а как там с применимостью модели дельта-функции? Ну хоть что-то подскажите.

[Полосин]

Вы пользуетесь т.н. слабой сходимостью. Мне кажется, один из возможных способов справиться с проблемой - рассматривать сопряженное пространство, т.е. пространство линейных функционалов над исходным пространством. Тогда, если $\varepsilon$ близко к нулю, можно заменять $\int_R\delta_\varepsilon(t-x)y(t)\,dt$ на $y(x)$.

[Anatoly]

Если речь идет о вычислении интеграла типа
$\int_a^b{g(x)\delta_\epsilon(x)dx}$,
то можно воспользоваться интегрированием по частям относительно первообразной $\delta_\epsilon(x)$. Должно получиться что-то вроде
$g(b)\chi_\epsilon(b) - g(a)\chi_\epsilon(a) - \int_a^b{g'(x)\chi_\epsilon(x)dx}$,
где $\chi_\epsilon(x)$ - функция, являющаяся приближением функции Хевисайта. Интеграл от неё должен уже считаться достаточно хорошо, без каких-либо "вылетов" за разрядную сетку.
Это конечно не единственный способ решения проблемы, но в любом случае необходимо преобразовывать вычисляемый интеграл к виду, пригодному для вычислений. Поиск критерия близости некоторой функции к дельта-функции слишком аппаратно-зависимая штука.