2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 16:56 
Помогите решить такое уравнение. Вот начало моего решения:
$
\[\sqrt {x - 3 - 2\sqrt {x - 4} }  - \sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  = 2\]
\[D(f) = x \ge 4\]
\[\begin{array}{l}
 \sqrt {x - 3 - 2\sqrt {x - 4} }  - \sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  = 2 \\ 
 \sqrt {x - 3 - 2\sqrt {x - 4} }  = 2 + \sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  \\ 
 x - 3 - 2\sqrt {x - 4}  = 4 + 4\sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  + x + 5 - 6\sqrt {x - 4}  \\ 
  - 12 + 4\sqrt {x - 4}  = 4\sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  \\ 
 144 - 96\sqrt {x - 4}  + 16(x - 4) = 16x + 80 - 96\sqrt {x - 4}  \\ 
 0 = 0 \\ 
 \end{array}\]
$
Вот на этом и застрял... Помогите разобратся, и подскажите плз с чего начать решение или где ошибка

 
 
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 16:59 
$\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}=\sqrt{(x-4)-2\sqrt{x-4} +1} = \sqrt{(\sqrt{x-4}-1)^2} = |\sqrt{x-4}-1|$
Второй корень аналогично, и рассматриваете разные варианты, с каким знаком модули раскрываются.

 
 
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 17:01 
Ms-dos4 в сообщении #300891 писал(а):
где ошибка

При возведении обеих частей в квадрат потеряли равносильность.

 
 
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 17:23 
Преобразования над вторым корнем как я полагаю такие
$\[\sqrt {x + 5 - 6\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {(x - 4) - 6\sqrt {x - 4}  + 9}  = \left| {\sqrt {x - 4}  - 3} \right|\]$
Рассматриваем знаки
$\[\begin{array}{l}
  \pm \sqrt {x - 4}  \pm 1 \pm \sqrt {x - 4}  \pm ( - 3) = 2 \\ 
 1)\sqrt {x - 4}  + 1 + \sqrt {x - 4}  - 3 = 2 \\ 
 2\sqrt {x - 4}  = 4 \\ 
 x = 8 \\ 
 2) - \sqrt {x - 4}  - 1 - \sqrt {x - 4}  + 3 = 2 \\ 
  - 2\sqrt {x - 4}  = 0 \\ 
 x = 4 \\ 
 3)\sqrt {x - 4}  + 1 - \sqrt {x - 4}  + 3 = 2 \\ 
 4 \ne 2 \\ 
 4) - \sqrt {x - 4}  - 1 + \sqrt {x - 4}  - 3 = 2 \\ 
  - 4 \ne 2 \\ 
 \end{array}\]$
И дальше не знаю что делать(

 
 
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 17:37 
Просто сделайте замену $z=\sqrt{x-4}$
Тогда Ваше уравнение сведется к
$|z-1|-|z-3|=2$
Поскольку корни арифметические его надо рассмотреть на трех промежутках
$z \in [0, 1)$, $z \in [1, 3)$ и $z \in [0, +\infty)$

 
 
 
 Re: Иррациональное уравнение
Сообщение22.03.2010, 18:05 
Нашёл, что при $\[x \ge 3\]$ оно выполняется. А значит
$\[\begin{array}{l}
 z = \sqrt {x - 4}  \\ 
 x = {z^2} + 4 \\ 
 x \ge 13 \\ 
 \end{array}\]$
СПС Всем, совпало с ответом)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group