Функция со счетным множеством значений

[Профессор Снэйп]

Вот если Вы на своей картинке пойдёте от чёрной ямы далеко направо, то попадёте в точку максимума

[ИСН]

Чёрта с два. Там будет всё более слабый, но положительный подъём, который, экспоненциально затухая... стоп, я это, кажется, уже говорил.

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #300416 писал(а):

Там будет всё более слабый, но положительный подъём, который, экспоненциально затухая...

Ну может быть. Я так понял, что если идти между ям, то чем правее, тем темнее, а если от ям, то сначала светлее, а потом темнее. А у Вас направо от ям всё время светлее и светлее, значит... Ну, может, Вы и правы. Хотя меня с моим дискретным мышлением формула убедила бы больше

[VoloCh]

Профессор Снэйп в сообщении #300354 писал(а):

Короче, с Вами всё ясно. Были претензии на какую-то математику, а вместо них пошло глупое ёрничество. С доказательствами же у Вас слабовато...

(Оффтоп)

Дружище Снейп! Во-первых, у меня нет, не было и не будет никаких "претензий на математику", во-вторых, у меня с доказательствами не просто "слабовато", а просто "никак". Эти привелигии, Вам профессор. Вам же за это деньги платют? А мы так, прохожие, простите нас!

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

VoloCh в сообщении #300423 писал(а):

Дружище Снейп!

Тамбовский Тролль тебе дружище!

[RIP]

На самом деле конкретный пример придумать очень легко. Пусть $f(z)$ --- целая функция, удовлетворяющая 2 условиям:
1) $f'(z)\ne0$ при любом $z\in\mathbb C$;
2) уравнение $f(z)=0$ имеет по крайней мере 2 различных корня.
Тогда функция $|f(z)|^2$ будет нужным примером.

Так, для $f(z)=e^z-1$ получаем явный пример $(e^x\cos y-1)^2+e^{2x}\sin^2y=e^{2x}+1-2e^x\cos y$. И не надо никаких картинок, которые всё равно ничего не проясняют.

[ewert]

RIP в сообщении #300693 писал(а):

которые всё равно ничего не проясняют.

Почему же, проясняют. В точке перегиба линии уровня должны пересекаться.

[RIP]

Впрочем, и по картинке ИСН можно построить пример (приведённый выше пример можно тоже подогнать под эту картинку, но сделаем вид, что мы его не знаем). Для этого будем искать функцию в виде $f(x,y)=a(x)\sin y+b(x)$, где условия на "коэффициенты" $a(x)$, $b(x)$ (помимо гладкости) следующие:
1) $a(x)>0$ при $x\in\mathbb R$;
2) $\alpha(x):=-a(x)+b(x)$ имеет лишь одну критическую точку, в которой минимум;
3) $\beta(x):=a(x)+b(x)$ не имеет критических точек.
Другими словами, $a(x)=\frac{-\alpha(x)+\beta(x)}2$, $b(x)=\frac{\alpha(x)+\beta(x)}2$, и для обеспечения условия 1) нужно только добиться, чтобы $\alpha(x)<\beta(x)$ всюду. Понятно, что можно напридумывать сколько угодно таких функций, например, $\alpha(x)=-\frac1{x^2+1}$, $\beta(x)=e^x$. Так что ничего унылого тут нет. Всё нормально формализуется, а пример становится намного проще понять.

[Профессор Снэйп]

Спасибо, RIP (и остальные). Не то, что это всё самому было трудно сделать, но когда начинаются подковырки в твой адрес, как-то не хочется начинать думать.

Осталось ещё доказать, что больше счётного количества особых точек при заданных условиях быть не может. Как тут быть? Ясно, что можно выбрать сколь угодно малую область, в которой будет несчётное количество особых точек, только пока не пойму, что это даёт. Пример функции $f(x) = x^2(1+ \sin 1/x)$ показывает, что локальный минимум спокойно может являться точкой сгущения локальных минимумов, так что не знаю даже, стоит ли искать здесь противоречие

[RIP]

Да точек строгого локального экстремума вообще у любой функции не более чем счётное количество. Доказать можно, например, как в моём первом ответе в этой теме. Впрочем, док-во ewert лучше: каждой точке строгого локального минимум ставим в соответствие шарик с рациональными центром и радиусом, в котором минимум принимается только в этой точке.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #300734 писал(а):

каждой точке строгого локального минимум ставим в соответствие шарик с рациональными центром и радиусом, в котором минимум принимается только в этой точке.

Хм... Ну вот $f(x) = x^2(2 + \sin 1/x)$. В нуле строгий локальный минимум. Какой шарик вы поставите ему в соответствие?

[ewert]

Достаточно рассмотреть функцию, заданную в ограниченной области.

Для каждого строго минимума существует супремум радиусов всех его окрестностей, в пределах каждой из которых этот минимум глобален. Назовём половину этого супремума радиусом влияния локального минимума, а саму окрестность -- областью влияния минимума. (Половину -- просто для определённости.)

Утверждение. Для любого $n$ количество локальных минимумов, радиусы влияния которых не меньше ${1\over n}$, не более чем конечно.

(Ибо если бы количество таких минимумов было бесконечным, то в силу ограниченности области среди них встречались бы сколь угодно близкие пары, а тогда каждый из двух таких минимумов попадал бы в область влияния второго. Что противоречиво.)

Следствие. Количество локальных минимумов не более чем счётно.

------------------------------------------------------------
Где-то здесь этот вопрос уже обсасывался...

[Профессор Снэйп]

Ага, это понятно

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #300739 писал(а):

RIP в сообщении #300734 писал(а):

каждой точке строгого локального минимум ставим в соответствие шарик с рациональными центром и радиусом, в котором минимум принимается только в этой точке.

Хм... Ну вот $f(x) = x^2(2 + \sin 1/x)$. В нуле строгий локальный минимум. Какой шарик вы поставите ему в соответствие?

Например, $[-1,1]$. Последний минимум в моей фразе надо понимать как глобальный минимум (в шарике). Смысл в том, чтобы точка по шарику восстанавливалась однозначно. Она и восстанавливается: надо взять ту (единственную) точку, в которой достигается минимальное значение в этом шарике.