интеграл несобственный

[vonkurt]

Проверьте,пожалуйста:
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

$$\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{dx}{(1+x)^3}$$

Решение:
$\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{dx}{(1+x)^3}=\lim\limits_{b \to \-1+0}\int\limits_{b}^{0}\left(1+x\right)^{-3} d\left(1+x\right)$=\lim\limits_{b \to \-1+0}\dfrac{(1+x)^{-2}}{-2}\big\bracevert_{b}^{0}$=$$=\lim\limits_{b \to \-1+0} \left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(1+b)^{2}}\right)=\infty $$
Значит интеграл расходится.
Правильно ли решение моё?

[Alexey1]

Правильно, только $b \to -1 +0$.

[ewert]

Правильно. С точностью до рассеянности знаков в нижнем пределе. А чтоб не было таких рассеянностей, желательно делать предварительно напрашивающуюся замену $x=-1+t$.

А почему напрашивающуюся ( т.е почему она обязана напрашиваться)?... -- а потому, что анализировать особенность в окрестности нуля куда приятнее, чем в окрестности любой другой точки.

[bot]

Если исправить 1 на -1, то будет правильно.

[vonkurt]

Спасибо! Три бессонных ночи на раскалывание интегралов несобственных
Подскажите,пожалуйста как ставится

\big\bracevert

$$\big\bracevert$$

Не так ведь вертикальная ставится?
По-моему у меня ещё один интеграл на подходе

-- Пт мар 19, 2010 22:20:23 --

ewert в сообщении #299518 писал(а):

Правильно. С точностью до рассеянности знаков в нижнем пределе. А чтоб не было таких рассеянностей, желательно делать предварительно напрашивающуюся замену $x=-1+t$.

А почему напрашивающуюся ( т.е почему она обязана напрашиваться)?... -- а потому, что анализировать особенность в окрестности нуля куда приятнее, чем в окрестности любой другой точки.

Спасибо,ewert, попробую, но точно,что запутаюсь

[AD]

Обсуждение вертикальных палочек отделено сюда:
интеграл несобственный: вертикальная палочка

[vonkurt]

ewert, Вы говорили про это?

Цитата:

делать предварительно напрашивающуюся замену $x=-1+t$

:

$$\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{dx}{(1+x)^3}$$

Решение:$t=1+x,x=1+t,dx=dt$
$\int\limits_{-1}^{0} \dfrac{dx}{(1+x)^3}= \lim \limits_{b \to -1+0}\int \limits_{b}^{0}\dfrac{1}{t^3}dt= \lim \limits_{b \to -1+0}-\dfrac{1}{2t^2}=\left.\lim\limits_{b \to -1+0}-\dfrac{1}{2(b+1)^2} \right|\limits_b^0=$

$$=\lim \limits_{b \to -1+0}\left(-\dfrac{1}{2(b+1)^2}\right)=\infty$$

Но, по-моему ,где-то собака порылась...

[gris]

В нуле она порылась. И в минусе. Что не играет.

[vonkurt]

gris в сообщении #300605 писал(а):

В нуле она порылась. И в минусе. Что не играет.

ААА,на $-1\times$
$x=-1+t$?

[gris]

Ну подстановку пределов интегрирования сделайте аккуратно.
Роли не играет.

[vonkurt]

$$=\lim \limits_{b \to -1+0}\left(-\dfrac{1}{2(-1+b)^2}\right)=\infty$$

Так правильно?

[gris]

vonkurt в писал(а):

$$=\lim\limits_{b \to -1+0} \left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(1+b)^{2}}\right)=\infty $$

Значит интеграл расходится.

[vonkurt]

vonkurt в сообщении #299525 писал(а):

попробую, но точно,что запутаюсь

Запутался

[gris]

$\left.-\dfrac{1}{2(x+1)^2} \right|_b^0=&$

[vonkurt]

Фсё...Я в учебники чтот я не туда побрёл...

-- Пн мар 22, 2010 00:19:02 --

gris в сообщении #300625 писал(а):

$\left.-\dfrac{1}{2(x+1)^2} \right|_b^0=&$

$$=0-\dfrac{1}{2(b+1)^2}$$

Так ведь?