Сопряжённое априорное распределение

[Neytrall]

Здравствуйте. Помогите мне разобраться с одной задачей, в которой я застрял:
Дано:$\Theta\sim Bin(4,0.4)$ , $X|\Theta\sim U[0,\theta]$(Дискретное равномерное распределение)...
Просят найти распределение $\Theta|X$.
Я попробовал, но застрял:
$P(\Theta|X)=\frac{p(x|\theta) \, p(\theta)} {\sum\limits_{\theta} p(x|\theta) \, p(\theta)}=\frac{\frac{1}{1+\theta}\frac{n!}{\theta!(n-\theta!)}p^{\theta}(1-p)^{n-\theta}}{\sum\limits_{\theta}\frac{1}{1+\theta}\frac{n!}{\theta!(n-\theta!)}p^{\theta}(1-p)^{n-\theta}}=\frac{\frac{1}{1+\theta}\frac{1}{\theta!(n-\theta!)}\frac{p^{\theta}}{(1-p)^{\theta}}}{\sum\limits_{\theta}\frac{1}{1+\theta}\frac{1}{\theta!(n-\theta!)}\frac{p^{\theta}}{(1-p)^{\theta}}}$
дальше я привёл всё под Бета функцию...но видимо это неверно, так как распределение должно быть дискретным...что делать?
Или надо привести под биномиальное распределение?

[Neytrall]

Аууу!

[Henrylee]

Ну так оно у Вас дискретно:

$$ \Prob\left\{\Theta=\theta|X=k\right\}= \frac{\frac{1}{\theta+1}C_n^\theta p^\theta q^{n-\theta}}{\sum\limits_{\theta=k}^n\frac1{\theta+1}C_n^\theta p^\theta q^{n-\theta}},\quad \theta\geqslant k $$

$n=4,~k=0\ldots 4,~p=0.4,~q=1-p$.

[Neytrall]

Вижу, что дискретно
Но как прийти к распределению $\Theta|X$... мне сказали, что это известное распределение.

[Henrylee]

Условное биномиальное. Соответствует уменьшенному на единицу числу успехов схеме Бернулли из $n+1$ независимых испытаний, при условии, что число успехов строго больше $k$.

-- Вс мар 21, 2010 11:58:53 --

$$ \Prob\left\{\Theta=\theta|X=k\right\}= \frac{C_{n+1}^{\theta+1} p^{\theta+1} q^{n-\theta}}{\sum\limits_{\theta=k}^nC_{n+1}^{\theta+1} p^{\theta+1} q^{n-\theta}},\quad \theta\geqslant k $$

[Neytrall]

$$ \Prob\left\{\Theta=\theta|X=k\right\}$$

тоже биномиальное?

[Henrylee]

Не, биномиальным его назвать нельзя. Условное биномиальное. Может оно как и по-другому называется, но я этого не знаю.

Если $\tilde{\Theta}$ биномиально с параметрами $(p,n+1)$, то

$$ \Prob\left\{\Theta=\theta|X=k\right\}=\Prob\left\{\tilde{\Theta}=\theta+1|\tilde{\Theta}>k\right\} $$

[Neytrall]

Его можно привести под Бета-распределение для целых чисел)))но это бредово

[Henrylee]

Не, нельзя. Вот если бы $p$ ,было значением случайно величины, до отдаленная схожесть была бы