Определение числа e

[e2e4]

В связи с обсуждением в http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3635 вопроса о целесообразности изучения пределов до изучения логарифмов, хотел бы уточнить для себя, каким образом, кроме применения производной показательной функции, можно определить число e? Как нас учили в школе, число e вводится как число, производная показательной функции которого $e^x$ равна самой этой функции.

Соответсвенно, без понятия числа e объяснять логарифмы конечно можно, но как-то неправильно.

[G^a]

Здравствуйте!

e2e4 писал(а):

Соответсвенно, без понятия числа e объяснять логарифмы конечно можно, но как-то неправильно.

А если речь идёт о логарифме вообще - с произвольным основанием. Тогда причём здесь число e?

Не проще ли продемонстрировать суть логарифма (как функции обратной к показательной) на примерах сначала десятичного, затем двоичного, а потом и произвольного основания?

И примеры для начала взять наглядные, с числами без дробной части.

[Someone]

Когда я учился в школе, никаких пределов или производных мы не изучали. Однако логарифмы изучали подробно, прекрасно обходясь без числа $e$.

Строгое построение, конечно, требует много чего, не изучавшегося в школе, однако изучение этого "много чего" требует гораздо большей математической культуры, чем это обычно бывает у школьников.

[XpeH]

e2e4 писал(а):

В связи с обсуждением в http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3635 вопроса о целесообразности изучения пределов до изучения логарифмов, хотел бы уточнить для себя, каким образом, кроме применения производной показательной функции, можно определить число e? Как нас учили в школе, число e вводится как число, производная показательной функции которого $e^x$ равна самой этой функции.

Соответсвенно, без понятия числа e объяснять логарифмы конечно можно, но как-то неправильно.

Ну число е можно ввести ещё как беск. сумму. Сказать какую?

[Highwind]

А еще вы забываете, что в обычной школе программа по алгебре составлена через одно место по своей сути. В школьной программе алгебры не бывает доказательств. Так шо, с точки зрения последовательности построения теории это значения вообще никакого не имеет, ибо ничего все равно не обосновывается. Надо либо в школах математику нормальную вводить, либо вообще ее запрещать, ибо такая математика - это убожество какое-то. Единственно, где есть доказательства - это геометрия, дык и ее недавно убрать хотели, посчитав, шо геометрия - енто не математика. Слава богу, не убрали.

[XpeH]

Highwind писал(а):

:evil: А еще вы забываете, что в обычной школе программа по алгебре составлена через одно место по своей сути. В школьной программе алгебры не бывает доказательств. Так шо, с точки зрения последовательности построения теории это значения вообще никакого не имеет, ибо ничего все равно не обосновывается. Надо либо в школах математику нормальную вводить, либо вообще ее запрещать, ибо такая математика - это убожество какое-то. Единственно, где есть доказательства - это геометрия, дык и ее недавно убрать хотели, посчитав, шо геометрия - енто не математика. Слава богу, не убрали.

В принципе я наверняка гораздо худший математик чем Вы, но школьную знаю точно лучше. Пример. Учебник Колмогорова по Алгебре, доказывается теорема о корне монотонной функции на отрезке, причем довольно строго. Но в принципе не спорю, что математика в школе дается очень криво.

[Highwind]

XpeH писал(а):

В принципе я наверняка гораздо худший математик чем Вы, но школьную знаю точно лучше. Пример. Учебник Колмогорова по Алгебре, доказывается теорема о корне монотонной функции на отрезке, причем довольно строго. Но в принципе не спорю, что математика в школе дается очень криво.

С чего вы взяли, что знаете ее лучше? Ну если только вы в школе два раза обучались, по полной программе... да потом два раза устный экзамен на мехмат сдавали, то возможно.
Шоб в учебнике Колмогорова что-то объяснялось? Ну не знаю, может быть, спорить не буду. Но это не значит, что учитель это объясняет. Типичный урок в обычной школе - дети, это делается вот так и никак иначе, не спрашивайте почему, а теперь мы будем решать примеры, пример №ххх, Вася Пупкин - к доске.... ну и т.п.

Я очень хорошо помню, что нам в школе по алгебре ничего не доказывали и поэтому весь материал к вступительному устному экзамену на мехмат был для меня полностью новый, зато позволил понять наконец все эти бредни, которые давались без вывода. Я молчу, что во многих школах сейчас никакие пределы не проходят - наличие их в учебнике Колмогорова ни о чем не говорит.

[yvanko]

Я закончил 11 класс, у нас этот раздел изучался в таком порядке:
1) Определение логарифма как $\ln(x) = \int\limits_1^x \frac{1}{t}dt ; \log_a b = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$
2) Определение числа е как корня уравнения ln(x)=1

[Highwind]

yvanko писал(а):

Определение числа е как корня уравнения ln(x)=1

Хорошее определение...

Тады уж можно и вторым замечательным пределом "определять". Кто-то этим и занимается.

[yvanko]

Ну, естественно, с доказательством существования и единственности. Потом можно вывести из этого свойство $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

[Highwind]

yvanko писал(а):

Ну, естественно, с доказательством существования и единственности. Потом можно вывести из этого свойство $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

А вы в обычной школе учились? И по каковскому учебнику?

[juna]

Кстати этот замечательный предел интересно получается из следующих соображений:
$\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^3}+...$
интегрируем
$ln(x+1)-ln(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{1}{3(x+1)^3}+...$
$ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^2}+\frac{1}{3(x+1)^3}+...$
$ln(1+\frac{1}{x})^x=\frac{x}{x+1}+\frac{x}{2(x+1)^2}+\frac{x}{3(x+1)^3}+...$
$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{2(x+1)^2}+\frac{x}{3(x+1)^3}+...)=1$
Таким образом, $\lim\limits_{x\to\infty}ln(1+\frac{1}{x})^x=1\to \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$

[XpeH]

Highwind писал(а):

С чего вы взяли, что знаете ее лучше? Ну если только вы в школе два раза обучались, по полной программе... да потом два раза устный экзамен на мехмат сдавали, то возможно.
Шоб в учебнике Колмогорова что-то объяснялось? Ну не знаю, может быть, спорить не буду. Но это не значит, что учитель это объясняет. Типичный урок в обычной школе - дети, это делается вот так и никак иначе, не спрашивайте почему, а теперь мы будем решать примеры, пример №ххх, Вася Пупкин - к доске.... ну и т.п.

Я очень хорошо помню, что нам в школе по алгебре ничего не доказывали и поэтому весь материал к вступительному устному экзамену на мехмат был для меня полностью новый, зато позволил понять наконец все эти бредни, которые давались без вывода. Я молчу, что во многих школах сейчас никакие пределы не проходят - наличие их в учебнике Колмогорова ни о чем не говорит.

Ну вообще я имел ввиду содержание школьной программы и школьных учебников. Вы, как помнится утверждали, что в школьных учебниках по алгебре ничего не доказывается и я привел контрпример, если подумать, то можно привести ещё десятка два. К тому же сейчас выпускается большое количество новых учебников на любой вкус...

[Highwind]

XpeH писал(а):

Ну вообще я имел ввиду содержание школьной программы и школьных учебников. Вы, как помнится утверждали, что в школьных учебниках по алгебре ничего не доказывается и я привел контрпример, если подумать, то можно привести ещё десятка два. К тому же сейчас выпускается большое количество новых учебников на любой вкус...

Ну не совсем так. Вот мои слова

Highwind писал(а):

В школьной программе алгебры не бывает доказательств.

В принципе, оно основано, в основном, на собственном опыте и рассказах знакомых об этом.
Насчет школьных учебников на любой вкус трудно не согласиться. И при этом в образовании царит полный хаос - каждый делает, что хочет и в результаете ничего не получается.
Тем более, люди, которые составляют программы, похоже, не очень много думают, если они, как я уже говорил, хотели изъять геометрию из школьной программы, посчитав, что к математике она не относится.
Математикам нашей страны составило больших трудов их убедить в обратном.

[zhe]

вообще говоря следует отметить что в школах математике обучают не только тех кто поступает в вышие учебные заведения но и тех кто поступает в ПТУ или на гуманитарные факультеты и им сложности не к чему да и не нужно это в школе если вы выбрали себе в жизни профессию связанную с математикой то вы и сами сможете все изучать а базу дадут в унивеситете а в школе такая база совсем не нужна.