Средние

[Руст]

Найти не равные целые числа а и b, чтобы средние арифметическое, геометрическое и гармоническое так же были целыми.

[maxal]

Например, такие: $a=2(1+k^2)$ и $b=2k^2(1+k^2)$, где $k>1$ - произвольное целое число.
Тогда:
среднее арифметическое = $(1+k^2)^2$
среднее геометрическое = $2k(1+k^2)$
среднее гармоническое = $4k^2$

[Руст]

В принципе можно описать все такие числа через три параметра, наподобии целочисленных прямоугольных треугольников. Можно поставить более конкретный вопрос, найти такую пару натуральных чисел с минимальным средним арифметическим.

[ИСН]

У меня как-то так:
$a=z\cdot x^2$
$b=z\cdot y^2$
x и y (взаимно простые) берём от балды, а z надо (Upd. - понял, как сказать то же самое короче) брать равным(x^2+y^2)/2, если x и y оба нечётные, или 2(x^2+y^2), если они разной чётности. Ну можно ещё домножить на что-нибудь по вкусу.
Итого:
(x,y)\to(a,b)
(1,2) - (10,40)
(1,3) - (5,45)
дальше - больше.
maxal нашёл частный случай, который, впрочем, покрывает минимальную пару. Upd. Одну из двух.